Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. em torno de .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o volume de um sólido que é formado ao rotacionar a região delimitada pelas curvas , (que é o eixo ), e em torno da reta (que é o eixo ).
Para resolver isso, vamos utilizar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas), que é útil para encontrar volumes de sólidos de rotação quando a rotação é em torno do eixo .

Passo 2

O método dos cilindros funciona da seguinte maneira: imaginamos a região sendo dividida em pequenas fatias verticais (cilindros) e calculamos o volume de cada cilindro individualmente. Depois, somamos todos esses volumes.
A fórmula para o volume utilizando esse método é:
Onde:
  • é a distância do cilindro ao eixo de rotação ( neste caso).
  • é a função que delimita a região ( ).
  • é o intervalo de integração ( até ).

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral:
Onde é a constante de integração, mas como estamos calculando um volume definido, podemos ignorar .

Passo 5

Aplicando os limites de integração de 0 a 1:

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada é unidades cúbicas.

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(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
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