Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
em torno de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o volume de um sólido que é formado ao rotacionar a região delimitada pelas curvas
,
(que é o eixo
), e
em torno da reta
(que é o eixo
).
Para resolver isso, vamos utilizar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas), que é útil para encontrar volumes de sólidos de rotação quando a rotação é em torno do eixo
.
Passo 2
O método dos cilindros funciona da seguinte maneira: imaginamos a região sendo dividida em pequenas fatias verticais (cilindros) e calculamos o volume de cada cilindro individualmente. Depois, somamos todos esses volumes.
A fórmula para o volume utilizando esse método é:
Onde:
-
é a distância do cilindro ao eixo de rotação ( neste caso). -
é a função que delimita a região ( ). -
é o intervalo de integração ( até ).
Passo 3
Vamos substituir os valores na fórmula:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral:
Onde
é a constante de integração, mas como estamos calculando um volume definido, podemos ignorar
.
Passo 5
Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada é
unidades cúbicas.
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, determine
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é um escalar e
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(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
em torno de
.