Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. em torno de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar uma região em torno da reta . As curvas que delimitam essa região são , (que é o eixo x) e . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. A curva é uma parábola que abre para cima, e é o eixo x. Entre e , essa curva forma uma área que vamos girar em torno de . Visualizar isso ajuda a saber como aplicar as fórmulas.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funciona o método dos discos. Quando giramos uma região em torno de uma reta, cada pequeno pedaço da região vira um disco ou anel. A fórmula para o volume é:
Aqui, é a distância do eixo de rotação até a função externa, e é a distância até a função interna. No nosso caso, como estamos girando em torno de , precisamos calcular essas distâncias.

Passo 4

Vamos identificar e :
  • A função externa é . A distância dela até é .
  • A função interna é . A distância dela até é .
Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos substituir e na fórmula do volume:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral.

Passo 6

Calculando :
Subtraindo :
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral completa é:

Passo 8

Agora, vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para :
Para :

Passo 9

Subtraindo os valores:
Então, o volume é:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Se u e v são funções vetoriais diferenciáveis, é um escalar e é uma função real, escreva as regras para diferenciar as seguintes funções vetoriais:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. em torno de .
Seja uma sequência monótona de números reais. Assuma que seja uma subsequência de . Mostre que se , então, .
Use a definição de limite de uma sequência para demonstrar a validade dos seguintes limites: