Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
em torno de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar uma região em torno da reta
. As curvas que delimitam essa região são
,
(que é o eixo x) e
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. A curva
é uma parábola que abre para cima, e
é o eixo x. Entre
e
, essa curva forma uma área que vamos girar em torno de
. Visualizar isso ajuda a saber como aplicar as fórmulas.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como funciona o método dos discos. Quando giramos uma região em torno de uma reta, cada pequeno pedaço da região vira um disco ou anel. A fórmula para o volume é:
Aqui,
é a distância do eixo de rotação até a função externa, e
é a distância até a função interna. No nosso caso, como estamos girando em torno de
, precisamos calcular essas distâncias.
Passo 4
Vamos identificar
e
:
- A função externa é
. A distância dela até é . - A função interna é
. A distância dela até é .
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos substituir
e
na fórmula do volume:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral.
Passo 6
Calculando
:
Subtraindo
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral completa é:
Passo 8
Agora, vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 9
Subtraindo os valores:
Então, o volume é:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Se u e v são funções vetoriais diferenciáveis,
é um escalar e
é uma função real, escreva as regras para diferenciar as seguintes funções vetoriais:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
em torno de
.
Seja
uma sequência monótona de números reais. Assuma que
seja uma subsequência de
. Mostre que se
, então,
.
Use a definição de limite de uma sequência para demonstrar a validade dos seguintes limites: