Se u e v são funções vetoriais diferenciáveis, é um escalar e é uma função real, escreva as regras para diferenciar as seguintes funções vetoriais:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre funções vetoriais diferenciáveis e , um escalar e uma função real . A gente vai aprender como diferenciar várias combinações dessas funções. Para isso, vamos precisar saber as regras de diferenciação de funções vetoriais, como soma, multiplicação por escalar, produto escalar, produto vetorial e composição de funções.

Passo 2

a) Diferenciar
Quando temos a soma de duas funções vetoriais, a derivada da soma é igual à soma das derivadas. Isso é semelhante ao que acontece com funções escalares.

Passo 3

b) Diferenciar
Se você multiplica uma função vetorial por um escalar, a derivada também será multiplicada por esse escalar. Basicamente, o escalar “passa” pela derivada.

Passo 4

c) Diferenciar
Aqui temos o produto de uma função escalar e uma função vetorial . Usamos a regra do produto: derivada do primeiro multiplicado pelo segundo mais o primeiro multiplicado pela derivada do segundo.

Passo 5

d) Diferenciar
Esse é o produto escalar de duas funções vetoriais. A derivada do produto escalar segue a regra do produto: derivada da primeira função escalar vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.

Passo 6

e) Diferenciar
Aqui temos o produto vetorial de duas funções vetoriais. A derivada do produto vetorial também usa uma regra semelhante à do produto escalar: derivada da primeira função vetorial cruzada com a segunda mais a primeira função vetorial cruzada com a derivada da segunda.

Passo 7

f) Diferenciar
Esse é um caso de composição de funções vetoriais. Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de em relação a é a derivada de em relação a multiplicada pela derivada de em relação a .

Resposta

As regras para diferenciar as funções vetoriais são:
a)
b)
c)
d)
e)
f)

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