Se u e v são funções vetoriais diferenciáveis,
é um escalar e
é uma função real, escreva as regras para diferenciar as seguintes funções vetoriais:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre funções vetoriais diferenciáveis
e
, um escalar
e uma função real
. A gente vai aprender como diferenciar várias combinações dessas funções. Para isso, vamos precisar saber as regras de diferenciação de funções vetoriais, como soma, multiplicação por escalar, produto escalar, produto vetorial e composição de funções.
Passo 2
a) Diferenciar
Quando temos a soma de duas funções vetoriais, a derivada da soma é igual à soma das derivadas. Isso é semelhante ao que acontece com funções escalares.
Passo 3
b) Diferenciar
Se você multiplica uma função vetorial por um escalar, a derivada também será multiplicada por esse escalar. Basicamente, o escalar “passa” pela derivada.
Passo 4
c) Diferenciar
Aqui temos o produto de uma função escalar
e uma função vetorial
. Usamos a regra do produto: derivada do primeiro multiplicado pelo segundo mais o primeiro multiplicado pela derivada do segundo.
Passo 5
d) Diferenciar
Esse é o produto escalar de duas funções vetoriais. A derivada do produto escalar segue a regra do produto: derivada da primeira função escalar vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.
Passo 6
e) Diferenciar
Aqui temos o produto vetorial de duas funções vetoriais. A derivada do produto vetorial também usa uma regra semelhante à do produto escalar: derivada da primeira função vetorial cruzada com a segunda mais a primeira função vetorial cruzada com a derivada da segunda.
Passo 7
f) Diferenciar
Esse é um caso de composição de funções vetoriais. Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de
em relação a
é a derivada de
em relação a
multiplicada pela derivada de
em relação a
.
Resposta
As regras para diferenciar as funções vetoriais são:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
em torno de
.
Se
, determine
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
em torno de
.
Seja
uma sequência monótona de números reais. Assuma que
seja uma subsequência de
. Mostre que se
, então,
.