Seja xnn in N uma sequência monótona de números reais. Assuma que xnkk in N seja uma subsequência de xnn in N. Mostre que se lim k +infty xnk=a, então, lim n +infty xn=a.

Passo 1

Então, a gente tem uma sequência de números reais que é monótona, ou seja, sempre cresce ou sempre diminui. Também temos uma subsequência dessa sequência principal que, quando a gente olha para os seus termos indo para o infinito, ela se aproxima de um número . O objetivo aqui é mostrar que, se essa subsequência converge para , então toda a sequência original também vai convergir para . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre sequências monótonas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser monótona. Uma sequência é monotonamente crescente se cada termo é maior ou igual ao anterior, ou seja, para todo . Ela é monotonamente decrescente se cada termo é menor ou igual ao anterior, ou seja, para todo . Essa propriedade é importante porque sequências monótonas têm comportamentos bem definidos quando se trata de limites.

Passo 3

Agora, sabemos que toda sequência monótona que é limitada (não cresce ou diminui indefinidamente) converge para um limite real. Isso é conhecido como o Teorema da Convergência Monótona. No nosso caso, como temos uma subsequência que converge para , isso nos dá uma pista sobre o comportamento da sequência inteira.

Passo 4

Vamos considerar que a sequência é monotonamente crescente (o caso decrescente é semelhante). Sabemos que uma sequência monotônica crescente que está limitada acima converge. Aqui, a subsequência converge para , o que implica que é um limite superior da sequência .

Passo 5

Sabendo que é crescente e limitada acima por , pelo Teorema da Convergência Monótona, a sequência deve convergir para seu supremo, que é . Portanto, .

Resposta

Assim, mostramos que se uma subsequência de uma sequência monótona converge para , então a sequência inteira também converge para . Portanto, .

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