Seja
uma sequência monótona de números reais. Assuma que
seja uma subsequência de
. Mostre que se
, então,
.
Passo 1
Então, a gente tem uma sequência de números reais que é monótona, ou seja, sempre cresce ou sempre diminui. Também temos uma subsequência dessa sequência principal que, quando a gente olha para os seus termos indo para o infinito, ela se aproxima de um número
. O objetivo aqui é mostrar que, se essa subsequência converge para
, então toda a sequência original também vai convergir para
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre sequências monótonas e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser monótona. Uma sequência é monotonamente crescente se cada termo é maior ou igual ao anterior, ou seja,
para todo
. Ela é monotonamente decrescente se cada termo é menor ou igual ao anterior, ou seja,
para todo
. Essa propriedade é importante porque sequências monótonas têm comportamentos bem definidos quando se trata de limites.
Passo 3
Agora, sabemos que toda sequência monótona que é limitada (não cresce ou diminui indefinidamente) converge para um limite real. Isso é conhecido como o Teorema da Convergência Monótona. No nosso caso, como temos uma subsequência que converge para
, isso nos dá uma pista sobre o comportamento da sequência inteira.
Passo 4
Vamos considerar que a sequência
é monotonamente crescente (o caso decrescente é semelhante). Sabemos que uma sequência monotônica crescente que está limitada acima converge. Aqui, a subsequência
converge para
, o que implica que
é um limite superior da sequência
.
Passo 5
Sabendo que
é crescente e limitada acima por
, pelo Teorema da Convergência Monótona, a sequência
deve convergir para seu supremo, que é
. Portanto,
.
Resposta
Assim, mostramos que se uma subsequência de uma sequência monótona converge para
, então a sequência inteira também converge para
. Portanto,
.
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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
em torno de
.
Se u e v são funções vetoriais diferenciáveis,
é um escalar e
é uma função real, escreva as regras para diferenciar as seguintes funções vetoriais:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Use a definição de limite de uma sequência para demonstrar a validade dos seguintes limites:
Mostre que
.