Use a definição de limite de uma sequência para demonstrar a validade dos seguintes limites:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa usar a definição de limite de uma sequência para mostrar que:
Isso está ligado à matéria de limites de sequências, onde mostramos que uma sequência se aproxima de um certo valor conforme fica muito grande. Vamos precisar entender a definição formal de limite e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição de limite de uma sequência. Dizemos que:
significa que para todo , existe um número natural tal que, para todo , a seguinte desigualdade vale:
No nosso caso, queremos provar que para a sequência .

Passo 3

Vamos aplicar a definição. Precisamos mostrar que, para qualquer , podemos encontrar um tal que, se , então:
Isso simplifica para:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão . Observando o denominador:
Então, podemos afirmar que:
Portanto, se , então também teremos .

Passo 5

Agora, queremos que:
Resolvendo para :
Isso significa que, se escolhermos tal que:
então, para todo , teremos , garantindo que:

Resposta

Assim, mostramos que para qualquer , podemos escolher para garantir que:
Portanto, de acordo com a definição de limite de uma sequência, concluímos que:

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Seja uma sequência monótona de números reais. Assuma que seja uma subsequência de . Mostre que se , então, .
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. em torno de .
Mostre que .
Suponha que e . Mostre que se para todo , então, .