Use a definição de limite de uma sequência para demonstrar a validade dos seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa usar a definição de limite de uma sequência para mostrar que:
Isso está ligado à matéria de limites de sequências, onde mostramos que uma sequência se aproxima de um certo valor conforme fica muito grande. Vamos precisar entender a definição formal de limite e como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da definição de limite de uma sequência. Dizemos que:
significa que para todo, existe um número natural tal que, para todo, a seguinte desigualdade vale:
No nosso caso, queremos provar que para a sequência .
Passo 3
Vamos aplicar a definição. Precisamos mostrar que, para qualquer , podemos encontrar um tal que, se , então:
Isso simplifica para:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão 3 n^3 + 2 > 3 n^3 . Observando o denominador:
n^23 n^3 + 2 < n^23 n^3 = 13 n
Então, podemos afirmar que:
Portanto, se , então também teremos .
Passo 5
Agora, queremos que:
13 n < varepsilon
Resolvendo para n > 13 varepsilon :
N > 13 varepsilon
Isso significa que, se escolhermos n^23 n^3 + 2 < varepsilon tal que:
então, para todo , teremos , garantindo que:
Resposta
Assim, mostramos que para qualquer n^23 n^3 + 2 < varepsilon quando n > N , podemos escolher lim n +infty n^23 n^3+2 = 0 para garantir que:
Portanto, de acordo com a definição de limite de uma sequência, concluímos que: