Use a definição de limite de uma sequência para demonstrar a validade dos seguintes limites: lim n +infty n^23 n^3+2=0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa usar a definição de limite de uma sequência para mostrar que:
lim n +infty n^23 n^3+2 = 0
Isso está ligado à matéria de limites de sequências, onde mostramos que uma sequência se aproxima de um certo valor conforme fica muito grande. Vamos precisar entender a definição formal de limite e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição de limite de uma sequência. Dizemos que:
limn to infty an = L
significa que para todo |an - L| < varepsilon , existe um número natural tal que, para todo , a seguinte desigualdade vale:
No nosso caso, queremos provar que para a sequência .

Passo 3

Vamos aplicar a definição. Precisamos mostrar que, para qualquer | n^23 n^3 + 2 - 0 | < varepsilon , podemos encontrar um n^23 n^3 + 2 < varepsilon tal que, se , então:
Isso simplifica para:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão 3 n^3 + 2 > 3 n^3 . Observando o denominador:
n^23 n^3 + 2 < n^23 n^3 = 13 n
Então, podemos afirmar que:
Portanto, se , então também teremos .

Passo 5

Agora, queremos que:
13 n < varepsilon
Resolvendo para n > 13 varepsilon :
N > 13 varepsilon
Isso significa que, se escolhermos n^23 n^3 + 2 < varepsilon tal que:
então, para todo , teremos , garantindo que:

Resposta

Assim, mostramos que para qualquer n^23 n^3 + 2 < varepsilon quando n > N , podemos escolher lim n +infty n^23 n^3+2 = 0 para garantir que:
Portanto, de acordo com a definição de limite de uma sequência, concluímos que:

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