Use a definição de limite de uma sequência para demonstrar a validade dos seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa usar a definição de limite de uma sequência para mostrar que:
Isso está ligado à matéria de limites de sequências, onde mostramos que uma sequência se aproxima de um certo valor conforme fica muito grande. Vamos precisar entender a definição formal de limite e como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da definição de limite de uma sequência. Dizemos que:
significa que para todo, existe um número natural tal que, para todo, a seguinte desigualdade vale:
No nosso caso, queremos provar que para a sequência .
Passo 3
Vamos aplicar a definição. Precisamos mostrar que, para qualquer , podemos encontrar um tal que, se , então:
Isso simplifica para:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão . Observando o denominador:
Então, podemos afirmar que:
Portanto, se , então também teremos .
Passo 5
Agora, queremos que:
Resolvendo para :
Isso significa que, se escolhermos tal que:
então, para todo , teremos , garantindo que:
Resposta
Assim, mostramos que para qualquer , podemos escolher para garantir que:
Portanto, de acordo com a definição de limite de uma sequência, concluímos que: