A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método.
b)
; em torno do eixo
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado quando a região delimitada pelas curvas
e
é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar um método da matemática chamado Cálculo Integral, especificamente o Método dos Cavalos (ou Shell Method).
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se encontram, ou seja, encontrar os valores de
que satisfazem
. Vamos resolver essa equação quadrática:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora, vamos usar o Método dos Cavalos para calcular o volume. Esse método é útil quando giramos a região em torno do eixo
. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
Onde:
-
é a distância do elemento infinitesimal à linha de rotação ( -eixo neste caso). -
é a função que define a curva superior menos a curva inferior.
No nosso caso,
e os limites de integração são de
a
.
Passo 4
Vamos montar a integral:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Avalie a integral de 1 a 2:
Então, substituindo de volta na fórmula do volume:
Resposta
O volume do sólido formado é
unidades cúbicas.