A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método.
b) y = -x^2 + 3x - 2, y = 0; em torno do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado quando a região delimitada pelas curvas e é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar um método da matemática chamado Cálculo Integral, especificamente o Método dos Cavalos (ou Shell Method).

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se encontram, ou seja, encontrar os valores de que satisfazem . Vamos resolver essa equação quadrática:
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora, vamos usar o Método dos Cavalos para calcular o volume. Esse método é útil quando giramos a região em torno do eixo . A fórmula geral para o volume usando esse método é:
Onde:
  • é a distância do elemento infinitesimal à linha de rotação ( -eixo neste caso).
  • é a função que define a curva superior menos a curva inferior.
No nosso caso, e os limites de integração são de a .

Passo 4

Vamos montar a integral:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Avalie a integral de 1 a 2:
Então, substituindo de volta na fórmula do volume:

Resposta

O volume do sólido formado é unidades cúbicas.

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