Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo y
a) y = x^2 - 6x + 10, y = -x^2 + 6x - 6.

Passo 1

Vamos entender o que precisa ser feito: queremos encontrar o volume da região delimitada pelas curvas e quando essa área é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica eficaz para calcular volumes de rotação, especialmente quando o eixo de rotação é vertical como o eixo .

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se interceptam, ou seja, para quais valores de as duas equações são iguais. Igualando as duas funções:
Vamos resolver essa equação:
Fatorando a equação quadrática:
Então, as soluções são:
Portanto, as curvas se interceptam nos pontos e .

Passo 3

Com os pontos de interseção encontrados, sabemos que o intervalo de integração será de a . No método das cascas cilíndricas, consideramos uma “casca” vertical fininha em uma posição dentro desse intervalo. A altura dessa casca será a diferença entre as duas funções :

Passo 4

A fórmula para o volume usando o método das cascas cilíndricas é:
Onde:
  • e são os limites de integração.
  • é a distância da casca ao eixo de rotação ( -eixo).
  • é a altura da casca.
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar pois estamos fazendo uma integral definida.

Passo 6

Vamos avaliar a antiderivada nos limites de integração e :
Para :
Para :
Calculando a diferença entre os limites:
Então, o resultado da integral é 8.

Resposta

O volume gerado pela rotação é unidades cúbicas.

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