Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo y
a)
.
a)
Passo 1
Vamos entender o que precisa ser feito: queremos encontrar o volume da região delimitada pelas curvas
e
quando essa área é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica eficaz para calcular volumes de rotação, especialmente quando o eixo de rotação é vertical como o eixo
.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se interceptam, ou seja, para quais valores de
as duas equações são iguais. Igualando as duas funções:
Vamos resolver essa equação:
Fatorando a equação quadrática:
Então, as soluções são:
Portanto, as curvas se interceptam nos pontos
e
.
Passo 3
Com os pontos de interseção encontrados, sabemos que o intervalo de integração será de
a
. No método das cascas cilíndricas, consideramos uma “casca” vertical fininha em uma posição
dentro desse intervalo. A altura dessa casca será a diferença entre as duas funções
:
Passo 4
A fórmula para o volume usando o método das cascas cilíndricas é:
Onde:
-
e são os limites de integração. -
é a distância da casca ao eixo de rotação ( -eixo). -
é a altura da casca.
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar pois estamos fazendo uma integral definida.
Passo 6
Vamos avaliar a antiderivada nos limites de integração
e
:
Para
:
Para
:
Calculando a diferença entre os limites:
Então, o resultado da integral é 8.
Resposta
O volume gerado pela rotação é
unidades cúbicas.