Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado:
(b) em torno de ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta ao girar a área delimitada pelas curvas e em torno do eixo . Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente do estudo de volumes de sólidos de revolução. Para isso, vamos usar o método dos anéis (ou método dos discos), que envolve integrar funções para calcular volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região. Temos , que é o eixo , e . Vou supor que aqui representa , então reescrevendo, temos . Essa é uma parábola que abre para a esquerda, com vértice em .

Passo 3

Agora, vamos visualizar a área limitada pelas duas curvas. A curva (o eixo ) e se interceptam quando , ou seja, quando . Então, os pontos de interseção são e . Assim, a região a ser girada está entre e .

Passo 4

Como vamos girar essa região em torno do eixo , precisamos calcular as distâncias de cada curva até esse eixo. Usando o método dos anéis, a fórmula para o volume é:
Onde:
  • é a distância da curva externa ao eixo de rotação.
  • é a distância da curva interna ao eixo de rotação.
  • e são os limites de integração.

Passo 5

Identificando as curvas:
  • A curva externa é .
  • A curva interna é .
Agora, vamos calcular e :

Passo 6

Substituindo na fórmula do volume:
Vamos expandir :
Então, a expressão dentro da integral fica:

Passo 7

Agora, a integral fica:
Como a função é par (símétrica em relação ao eixo ), podemos simplificar multiplicando a integral de 0 a 3 por 2:

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
Agora, avaliamos de 0 a 3:

Passo 9

Multiplicando pelo :

Resposta

O volume do sólido obtido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Use o Teorema de Stokes para calcular em cada caso: (suponha orientação positiva em todos os casos)
(a) é a circunferência no plano ;
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado:
(a) em torno do eixo- ;
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado:
© em que em torno do eixo- .
Use o Teorema de Stokes para calcular em cada caso
© é o cone , orientado de acordo com o sentido positivo do eixo dos ;