Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado:
(b)
em torno de
;
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta ao girar a área delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente do estudo de volumes de sólidos de revolução. Para isso, vamos usar o método dos anéis (ou método dos discos), que envolve integrar funções para calcular volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região. Temos
, que é o eixo
, e
. Vou supor que
aqui representa
, então reescrevendo, temos
. Essa é uma parábola que abre para a esquerda, com vértice em
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a área limitada pelas duas curvas. A curva
(o eixo
) e
se interceptam quando
, ou seja, quando
. Então, os pontos de interseção são
e
. Assim, a região a ser girada está entre
e
.
Passo 4
Como vamos girar essa região em torno do eixo
, precisamos calcular as distâncias de cada curva até esse eixo. Usando o método dos anéis, a fórmula para o volume
é:
Onde:
-
é a distância da curva externa ao eixo de rotação. -
é a distância da curva interna ao eixo de rotação. -
e são os limites de integração.
Passo 5
Identificando as curvas:
- A curva externa é
. - A curva interna é
.
Agora, vamos calcular
e
:
Passo 6
Substituindo na fórmula do volume:
Vamos expandir
:
Então, a expressão dentro da integral fica:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Como a função é par (símétrica em relação ao eixo
), podemos simplificar multiplicando a integral de 0 a 3 por 2:
Passo 8
Vamos integrar termo a termo:
Agora, avaliamos de 0 a 3:
Passo 9
Multiplicando pelo
:
Resposta
O volume do sólido obtido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Stokes para calcular
em cada caso: (suponha orientação positiva em todos os casos)
(a) é a circunferência
no plano
;
(a)
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado:
(a) em torno do eixo-
;
(a)
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado:
© em que
em torno do eixo-
.
©
Use o Teorema de Stokes para calcular
em cada caso
© é o cone
, orientado de acordo com o sentido positivo do eixo dos
;
©