Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região e o sólido.
c.
; em torno do eixo
c.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o volume de um sólido que é gerado quando uma região delimitada por algumas curvas é girada em torno do eixo
. As curvas que estamos considerando são:
(uma hipérbole),
,
e a reta
(que é o eixo
). Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica que ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região delimitada por essas curvas. A reta
vai de infinito para a esquerda e cruza o eixo
quando
até
. Nesse intervalo, a curva vai de
(quando
) até
(quando
). Então, essa região está entre a curva, a reta vertical
, a reta vertical
, e o eixo
.
Agora que a gente já sabe a região que vamos girar, vamos usar o método dos discos para calcular o volume. A fórmula do volume
de um sólido de revolução quando giramos em torno do eixo
é dada por:
onde
No nosso caso, temos:
Então, substituindo na fórmula, ficamos com:
Passo 3
Agora precisamos resolver essa integral. Primeiro, vamos simplificar a função dentro da integral:
Portanto, nossa integral se torna:
A integral de
é um pouco mais simples, pois temos:
Portanto, podemos calcular:
Agora, precisamos avaliar essa expressão nos limites
e
:
Assim, temos que:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo
é $ \frac{\pi}{2} $.