Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região e o sólido.
c. y=1 / x, x=1, x=2, y=0; em torno do eixo x

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o volume de um sólido que é gerado quando uma região delimitada por algumas curvas é girada em torno do eixo x. As curvas que estamos considerando são: y = 1x (uma hipérbole), x = 1, x = 2 e a reta y = 0 (que é o eixo x). Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica que ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região delimitada por essas curvas. A reta y = 1x vai de infinito para a esquerda e cruza o eixo y quando x = 1 até x = 2. Nesse intervalo, a curva vai de y = 1 (quando x = 1) até y = 0.5 (quando x = 2). Então, essa região está entre a curva, a reta vertical x = 1, a reta vertical x = 2, e o eixo x.
Agora que a gente já sabe a região que vamos girar, vamos usar o método dos discos para calcular o volume. A fórmula do volume V de um sólido de revolução quando giramos em torno do eixo x é dada por:
V = pi integrala^b [f(x)]^2 , dx
onde f(x) é a função que dá a altura do disco e [a, b] é o intervalo no eixo x que estamos considerando.
No nosso caso, temos:
  • f(x) = 1x
  • a = 1
  • b = 2
Então, substituindo na fórmula, ficamos com:
V = pi integral1^2 (1x)^2 , dx

Passo 3

Agora precisamos resolver essa integral. Primeiro, vamos simplificar a função dentro da integral:
(1x)^2 = 1x^2
Portanto, nossa integral se torna:
V = pi integral1^2 1x^2 , dx
A integral de x^-2 é um pouco mais simples, pois temos:
integral x^-2 , dx = -1x
Portanto, podemos calcular:
V = pi [-1x]1^2
Agora, precisamos avaliar essa expressão nos limites 1 e 2:
V = pi ( -12 - (-11) )
V = pi ( -12 + 1 )
V = pi ( 12 )
Assim, temos que:
V = pi2

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo x é $ \frac{\pi}{2} $.

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