Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados.
; ao redor do eixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o volume de um sólido que a gente forma ao girar a região limitada pelas curvas
,
e
ao redor do eixo
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente do método dos discos para volumes de rotação. Vamos precisar da fórmula de integração e entender como aplicar o método dos discos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que vamos girar. A curva
é uma parábola que abre pra cima. A reta
é uma linha vertical que corta a parábola, e
é o eixo
. Então, a área que estamos considerando está entre
e
, de
até
.
Passo 3
Agora, vamos pensar em girar essa região em torno do eixo
. Quando giramos uma área em torno do eixo
, cada pedacinho vertical da área forma um disco. O volume total do sólido será a soma de todos esses discos.
Passo 4
Para calcular o volume desses discos, usamos a fórmula:
Aqui,
,
e
. Então, substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos integrar
de 0 a 1. A integral de
é
, então:
Aplicando os limites:
Resposta
O volume do sólido formado é
unidades cúbicas.