Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados.
y = x^2, x = 1, y = 0; ao redor do eixo x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o volume de um sólido que a gente forma ao girar a região limitada pelas curvas , e ao redor do eixo . Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente do método dos discos para volumes de rotação. Vamos precisar da fórmula de integração e entender como aplicar o método dos discos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que vamos girar. A curva é uma parábola que abre pra cima. A reta é uma linha vertical que corta a parábola, e é o eixo . Então, a área que estamos considerando está entre e , de até .

Passo 3

Agora, vamos pensar em girar essa região em torno do eixo . Quando giramos uma área em torno do eixo , cada pedacinho vertical da área forma um disco. O volume total do sólido será a soma de todos esses discos.

Passo 4

Para calcular o volume desses discos, usamos a fórmula:
Aqui, , e . Então, substituindo na fórmula:

Passo 5

Vamos integrar de 0 a 1. A integral de é , então:
Aplicando os limites:

Resposta

O volume do sólido formado é unidades cúbicas.

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