Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados.
; ao redor do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o volume de um sólido que resulta da rotação da região limitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo, mais especificamente ao cálculo de volumes por método de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar a região a ser rodada e aplicar a técnica adequada de integração para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região. Temos duas equações:
-
— que representa uma parábola aberta para a direita. -
— que representa uma reta.
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para definir os limites de integração. Igualando as duas equações:
Portanto,
e
. Esses são os limites de
para a região que vamos rotacionar.
Passo 3
Agora, precisamos decidir qual método de integração usar para encontrar o volume. Como estamos girando em torno do eixo
, o método dos discos (ou anéis) é apropriado. Este método envolve integrar a área da seção transversal perpendicular ao eixo de rotação.
Passo 4
Para aplicar o método dos discos, expressamos
em função de
para ambas as curvas:
- Da parábola:
. - Da reta: já está em função de
: .
O volume
é dado por:
onde
é a função externa e
a interna. Neste caso,
e
.
Passo 5
Vamos substituir os valores na integral:
Agora, integramos termo a termo:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas
e
em torno do eixo
é: