Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados.
y^2 = x, x = 2y; ao redor do eixo y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o volume de um sólido que resulta da rotação da região limitada pelas curvas e em torno do eixo . Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo, mais especificamente ao cálculo de volumes por método de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar a região a ser rodada e aplicar a técnica adequada de integração para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região. Temos duas equações:
  1. — que representa uma parábola aberta para a direita.
  2. — que representa uma reta.
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para definir os limites de integração. Igualando as duas equações:
Portanto, e . Esses são os limites de para a região que vamos rotacionar.

Passo 3

Agora, precisamos decidir qual método de integração usar para encontrar o volume. Como estamos girando em torno do eixo , o método dos discos (ou anéis) é apropriado. Este método envolve integrar a área da seção transversal perpendicular ao eixo de rotação.

Passo 4

Para aplicar o método dos discos, expressamos em função de para ambas as curvas:
  1. Da parábola: .
  2. Da reta: já está em função de : .
O volume é dado por:
onde é a função externa e a interna. Neste caso, e .

Passo 5

Vamos substituir os valores na integral:
Agora, integramos termo a termo:

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas e em torno do eixo é:

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