Usando integração por partes, Calcule as integrais abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando integração por partes. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes. Para isso, precisamos identificar quais partes da função vamos atribuir a
e a
na fórmula da integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral de uma forma que fique mais fácil de aplicar a integração por partes. Sabemos que
, então a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Precisamos escolher o que será
e o que será
. A regra mnemônica “LIATE” pode ajudar na escolha:
- Logarítmico
- Inverso trigonométrico
- Algebraico
- Trigonométrico
- Exponencial
Aqui,
é algébrico e
é exponencial. Então, escolhemos:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
e
:
Derivando
:
Integrando
:
Passo 5
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Agora, vamos integrar
:
Substituindo de volta na equação anterior:
Passo 7
Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 1:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
A integral
vale
.