Usando integração por partes, Calcule as integrais abaixo:
integral0^1 xe^x d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes. Para isso, precisamos identificar quais partes da função vamos atribuir a e a na fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de uma forma que fique mais fácil de aplicar a integração por partes. Sabemos que integral0^1 x e^-x dx , então a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher o que será u = x (al>=brico) e o que será dv = e^-x dx (exponencial) . A regra mnemônica “LIATE” pode ajudar na escolha:
  • Logarítmico
  • Inverso trigonométrico
  • Algebraico
  • Trigonométrico
  • Exponencial
Aqui, é algébrico e é exponencial. Então, escolhemos:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar du = ddxx , dx = 1 , dx e v = integral e^-x dx = -e^-x :
Derivando :
Integrando :

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x e^-x dx = -x e^-x - integral (-e^-x) cdot 1 , dx
= -x e^-x + integral e^-x dx

Passo 6

Agora, vamos integrar integral e^-x dx = -e^-x + C :
integral x e^-x dx = -x e^-x - e^-x + C
Substituindo de volta na equação anterior:
= -e^-x(x + 1) + C

Passo 7

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 1:
integral0^1 x e^-x dx = [ -e^-x(x + 1) ]0^1
Calculando nos limites:
Para - e^-1(1 + 1) = -2 e^-1 :
- e^0(0 + 1) = -1
Para -2 e^-1 - (-1) = -2 e^-1 + 1 :
Subtraindo:

Resposta

A integral vale .

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