Para a função faça o seguinte:
Determine a equação da reta normal ao gráfico de quando ;

Passo 1

Então, temos a função e queremos encontrar a equação da reta normal ao gráfico dessa função no ponto onde . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, para encontrar o coeficiente angular da reta tangente e, a partir daí, determinar o coeficiente angular da reta normal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto no gráfico de quando . Isso significa calcular .
Sabemos que , então:
Portanto, o ponto de interesse é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de para determinar o coeficiente angular da reta tangente no ponto . A derivada representa a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.
Dada a função , vamos calcular :
Agora, usamos a regra da cadeia para derivar :
Então:

Passo 4

Vamos agora calcular para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto :
Sabemos que e , então:
Portanto, a inclinação da reta tangente no ponto é 1.

Passo 5

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Se a inclinação da reta tangente é , então a inclinação da reta normal é:

Passo 6

Agora, usamos a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação para encontrar a equação da reta normal. A fórmula é:
Onde é o ponto de interesse e é a inclinação da reta normal .
Substituindo os valores:

Passo 7

Simplificando a equação para a forma mais comum:

Resposta

A equação da reta normal ao gráfico de no ponto é .

Exercícios relacionados

Para a função :
Calcule
Para a função :
Calcule
Para a função faça o seguinte:
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de quando ;
Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo .
7.
8.
9.
10. .
[Sugestão: Use a identidade .]
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13.
14.