Para a função
faça o seguinte:
Determine a equação da reta normal ao gráfico de
quando
;
Passo 1
Então, temos a função
e queremos encontrar a equação da reta normal ao gráfico dessa função no ponto onde
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, para encontrar o coeficiente angular da reta tangente e, a partir daí, determinar o coeficiente angular da reta normal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto no gráfico de
quando
. Isso significa calcular
.
Sabemos que
, então:
Portanto, o ponto de interesse é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
para determinar o coeficiente angular da reta tangente no ponto
. A derivada
representa a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
da função.
Dada a função
, vamos calcular
:
Agora, usamos a regra da cadeia para derivar
:
Então:
Passo 4
Vamos agora calcular
para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
:
Sabemos que
e
, então:
Portanto, a inclinação da reta tangente no ponto
é 1.
Passo 5
A reta normal é perpendicular à reta tangente. Se a inclinação da reta tangente é
, então a inclinação da reta normal é:
Passo 6
Agora, usamos a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação para encontrar a equação da reta normal. A fórmula é:
Onde
é o ponto de interesse
e
é a inclinação da reta normal
.
Substituindo os valores:
Passo 7
Simplificando a equação para a forma mais comum:
Resposta
A equação da reta normal ao gráfico de
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Para a função
:
Calcule
Para a função
:
Calcule
Para a função
faça o seguinte:
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
quando
;
Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo
.
7.
8.
9.
10. .
[Sugestão: Use a identidade .]
11.
12.
13.
14.
7.
8.
9.
10.
[Sugestão: Use a identidade
11.
12.
13.
14.