Encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada sem resolver a equação: (1 - x^2) y'' - 2 x y' + 3 y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o wronskiano de duas soluções da seguinte equação diferencial sem precisar resolver a equação:
Isso está no campo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o wronskiano sem conhecer as soluções específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de segunda ordem, que é:
Para isso, dividimos toda a equação por :
Agora, identificamos e .

Passo 3

O wronskiano de duas soluções de uma equação diferencial linear de segunda ordem satisfaz a seguinte equação diferencial:
Aqui, é o coeficiente da derivada de primeira na forma padrão da equação. No nosso caso, já identificamos .

Passo 4

Vamos resolver essa equação para o wronskiano :
Isso pode ser reescrito como:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para .

Passo 5

Para resolver essa equação, usamos o método do fator integrante. A solução geral é:
Substituindo :

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Fazendo uma substituição simples: seja , então . Assim:

Passo 7

Voltando à expressão do wronskiano:
Aqui, é uma constante que pode ser determinada se tivermos condições iniciais, mas como estamos procurando o wronskiano geral, podemos considerar para simplificar.

Resposta

Portanto, o wronskiano das duas soluções da equação diferencial dada é:

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