Encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada sem resolver a equação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o wronskiano de duas soluções da seguinte equação diferencial sem precisar resolver a equação:
Isso está no campo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o wronskiano sem conhecer as soluções específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de segunda ordem, que é:
Para isso, dividimos toda a equação por
:
Agora, identificamos
e
.
Passo 3
O wronskiano
de duas soluções de uma equação diferencial linear de segunda ordem satisfaz a seguinte equação diferencial:
Aqui,
é o coeficiente da derivada de primeira na forma padrão da equação. No nosso caso, já identificamos
.
Passo 4
Vamos resolver essa equação para o wronskiano
:
Isso pode ser reescrito como:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para
.
Passo 5
Para resolver essa equação, usamos o método do fator integrante. A solução geral é:
Substituindo
:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Fazendo uma substituição simples: seja
, então
. Assim:
Passo 7
Voltando à expressão do wronskiano:
Aqui,
é uma constante que pode ser determinada se tivermos condições iniciais, mas como estamos procurando o wronskiano geral, podemos considerar
para simplificar.
Resposta
Portanto, o wronskiano das duas soluções da equação diferencial dada é:
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Encontre o wronskiano do par de soluções:
As equações abaixo são equações autônomas. Em cada item, determine os pontos de equilíbrio e classifique cada um deles como estável ou instável. Em seguida, esboce diversos gráficos das soluções.
Encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada sem resolver a equação:
Use os casos de fatoração mais adequados e fatore os polinômios a seguir.