Encontre o wronskiano do par de soluções: e^(2t), e^(-3t/2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o wronskiano de duas soluções dadas: e . O wronskiano é uma ferramenta que nos ajuda a verificar se duas funções são linearmente independentes, ou seja, se uma não pode ser escrita como combinação da outra. Para calcular o wronskiano, vamos precisar derivar essas funções e montar uma matriz com elas e suas derivadas.

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas das duas funções. A primeira função é . A derivada de em relação a é:
A segunda função é . A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora que temos as funções e suas derivadas, vamos montar o wronskiano. O wronskiano é dado pela seguinte matriz determinante:
Substituindo as funções e suas derivadas, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 2x2 é calculado como:
Aplicando isso ao nosso wronskiano:
Simplificando:

Passo 5

Vamos simplificar as expressões exponenciais. Sabemos que . Então:
Substituindo de volta:

Resposta

O wronskiano das funções e é:

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