As equações abaixo são equações autônomas. Em cada item, determine os pontos de equilíbrio e classifique cada um deles como estável ou instável. Em seguida, esboce diversos gráficos das soluções. dy/dt = y(y-1)(y-2), y0 ≥ 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial autônoma juntos! O que precisamos aqui é encontrar os pontos de equilíbrio, que são os valores de onde a taxa de variação é zero. Depois, vamos classificar cada ponto como estável ou instável e desenhar alguns gráficos para visualizar as soluções. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e análise de estabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio da equação dada:
Os pontos de equilíbrio ocorrem quando . Então, igualamos a equação a zero:
Resolvendo essa equação, temos três soluções:
Então, os pontos de equilíbrio são , e .

Passo 3

Agora, vamos classificar cada ponto de equilíbrio como estável ou instável. Para isso, vamos analisar o sinal da derivada em torno de cada ponto.
  1. Para :
    • Quando está logo acima de 0 (por exemplo, ): Isso significa que está aumentando.
    • Quando está logo abaixo de 0 (por exemplo, ): Isso significa que está diminuindo.
    • Conclusão: Como se afasta de 0 de ambos os lados, é um ponto instável.
  2. Para :
    • Quando está logo acima de 1 (por exemplo, ): Isso significa que está diminuindo.
    • Quando está logo abaixo de 1 (por exemplo, ): Isso significa que está aumentando.
    • Conclusão: Como está sendo puxado para 1 de ambos os lados, é um ponto estável.
  3. Para :
    • Quando está logo acima de 2 (por exemplo, ): Isso significa que está aumentando.
    • Quando está logo abaixo de 2 (por exemplo, ): Isso significa que está diminuindo.
    • Conclusão: Como se afasta de 2 de ambos os lados, é um ponto instável.

Passo 4

Agora, vamos esboçar os gráficos das soluções. Vamos analisar o comportamento de em diferentes intervalos:
  • Para : diminui.
  • Para : aumenta.
  • Para : diminui.
  • Para : aumenta.
Com base nisso, os gráficos das soluções terão as seguintes tendências:
  • Em : Instável – as soluções se afastam de 0.
  • Em : Estável – as soluções convergem para 1.
  • Em : Instável – as soluções se afastam de 2.

Resposta

Os pontos de equilíbrio são:
  • Instável
  • Estável
  • Instável
Os gráficos das soluções mostram que:
  • Para , diminui.
  • Entre e , aumenta em direção a 1.
  • Entre e , diminui em direção a 1.
  • Para , aumenta indefinidamente.

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