As equações abaixo são equações autônomas. Em cada item, determine os pontos de equilíbrio e classifique cada um deles como estável ou instável. Em seguida, esboce diversos gráficos das soluções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial autônoma juntos! O que precisamos aqui é encontrar os pontos de equilíbrio, que são os valores de
onde a taxa de variação
é zero. Depois, vamos classificar cada ponto como estável ou instável e desenhar alguns gráficos para visualizar as soluções. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e análise de estabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio da equação dada:
Os pontos de equilíbrio ocorrem quando
. Então, igualamos a equação a zero:
Resolvendo essa equação, temos três soluções:
Então, os pontos de equilíbrio são
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos classificar cada ponto de equilíbrio como estável ou instável. Para isso, vamos analisar o sinal da derivada
em torno de cada ponto.
-
Para
: - Quando
está logo acima de 0 (por exemplo, ): Isso significa que está aumentando. - Quando
está logo abaixo de 0 (por exemplo, ): Isso significa que está diminuindo. - Conclusão: Como
se afasta de 0 de ambos os lados, é um ponto instável.
- Quando
-
Para
: - Quando
está logo acima de 1 (por exemplo, ): Isso significa que está diminuindo. - Quando
está logo abaixo de 1 (por exemplo, ): Isso significa que está aumentando. - Conclusão: Como
está sendo puxado para 1 de ambos os lados, é um ponto estável.
- Quando
-
Para
: - Quando
está logo acima de 2 (por exemplo, ): Isso significa que está aumentando. - Quando
está logo abaixo de 2 (por exemplo, ): Isso significa que está diminuindo. - Conclusão: Como
se afasta de 2 de ambos os lados, é um ponto instável.
- Quando
Passo 4
Agora, vamos esboçar os gráficos das soluções. Vamos analisar o comportamento de
em diferentes intervalos:
- Para
: → diminui. - Para
: → aumenta. - Para
: → diminui. - Para
: → aumenta.
Com base nisso, os gráficos das soluções terão as seguintes tendências:
- Em
: Instável – as soluções se afastam de 0. - Em
: Estável – as soluções convergem para 1. - Em
: Instável – as soluções se afastam de 2.
Resposta
Os pontos de equilíbrio são:
-
– Instável -
– Estável -
– Instável
Os gráficos das soluções mostram que:
- Para
, diminui. - Entre
e , aumenta em direção a 1. - Entre
e , diminui em direção a 1. - Para
, aumenta indefinidamente.
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