Encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada sem resolver a equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o wronskiano de duas soluções da equação diferencial
sem realmente resolver a equação. Isso está ligado ao estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver isso, vamos usar uma fórmula que relaciona o wronskiano diretamente com os coeficientes da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação diferencial. Ela está na forma padrão:
Aqui, temos:
Passo 3
Agora, lembrando que o wronskiano
de duas soluções
e
dessa equação satisfaz a seguinte relação:
Vamos substituir
e
na equação:
Passo 4
Essa é uma equação diferencial simples para
. Podemos resolver isso separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
onde
é uma nova constante.
Resposta
O wronskiano das duas soluções é
, onde
é uma constante.
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Encontre o wronskiano do par de soluções:
Use os casos de fatoração mais adequados e fatore os polinômios a seguir.
Use os casos de fatoração mais adequados e fatore os polinômios a seguir.