Encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada sem resolver a equação: x^2 y'' + x y' + (x^2 - 4) y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o wronskiano de duas soluções da equação diferencial sem realmente resolver a equação. Isso está ligado ao estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver isso, vamos usar uma fórmula que relaciona o wronskiano diretamente com os coeficientes da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação diferencial. Ela está na forma padrão:
Aqui, temos:

Passo 3

Agora, lembrando que o wronskiano de duas soluções e dessa equação satisfaz a seguinte relação:
Vamos substituir e na equação:

Passo 4

Essa é uma equação diferencial simples para . Podemos resolver isso separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Exponenciando ambos os lados para resolver para :
onde é uma nova constante.

Resposta

O wronskiano das duas soluções é , onde é uma constante.

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Use os casos de fatoração mais adequados e fatore os polinômios a seguir. 4/9 * m^2 - 25/49 * n^2