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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, dada a equação
. Esse tipo de problema envolve derivação implícita, que é usada quando
está misturado com
na equação e não está facilmente isolado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivação implícita. Quando temos uma equação que relaciona
e
e queremos encontrar
, derivamos ambos os lados da equação em relação a
, tratando
como uma função de
. Ou seja, sempre que derivarmos
, vamos multiplicar por
por causa da regra da cadeia.
Passo 3
Agora, vamos derivar cada termo da equação
em relação a
.
-
Derivada de
em relação a : -
Derivada de
em relação a : Aqui usamos a regra da cadeia, já queé uma função de . -
Derivada de
em relação a : Usamos a regra do produto aqui.
Passo 4
Depois de derivar cada termo, nossa equação fica assim:
Agora, o objetivo é isolar
. Para isso, vamos reunir todos os termos que contêm
de um lado e os demais termos do outro lado.
Passo 5
Vamos subtrair
de ambos os lados:
Fatorando
nos termos à esquerda:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Podemos simplificar essa expressão dividindo numerador e denominador por 3:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: