tncontre d y/d x sen(x^3) + y^3 = 6 x y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , dada a equação . Esse tipo de problema envolve derivação implícita, que é usada quando está misturado com na equação e não está facilmente isolado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivação implícita. Quando temos uma equação que relaciona e e queremos encontrar , derivamos ambos os lados da equação em relação a , tratando como uma função de . Ou seja, sempre que derivarmos , vamos multiplicar por por causa da regra da cadeia.

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo da equação em relação a .
  1. Derivada de em relação a :
  2. Derivada de em relação a :
    Aqui usamos a regra da cadeia, já que é uma função de .
  3. Derivada de em relação a :
    Usamos a regra do produto aqui.

Passo 4

Depois de derivar cada termo, nossa equação fica assim:
Agora, o objetivo é isolar . Para isso, vamos reunir todos os termos que contêm de um lado e os demais termos do outro lado.

Passo 5

Vamos subtrair de ambos os lados:
Fatorando nos termos à esquerda:

Passo 6

Agora, isolamos :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Podemos simplificar essa expressão dividindo numerador e denominador por 3:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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