Encontre para que a matriz tenha inversa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de que faz com que a matriz tenha uma inversa. Isso está relacionado ao conteúdo de matrizes e determinantes. Para que uma matriz tenha inversa, o seu determinante precisa ser diferente de zero. Então, vamos precisar calcular o determinante da matriz e garantir que ele não seja igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz :
Para encontrar o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a Regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a Regra de Sarrus aqui, que é bem prática.

Passo 3

A Regra de Sarrus consiste em multiplicar os elementos das diagonais principais e depois subtrair os produtos das diagonais secundárias. Vamos aplicar isso na matriz :
Primeiro, multiplicamos as diagonais principais:
Agora, multiplicamos as diagonais secundárias:

Passo 4

Agora, somamos os produtos das diagonais principais e subtraímos os das secundárias:
Vamos simplificar isso passo a passo:
Então:

Passo 5

Para que a matriz tenha uma inversa, o determinante precisa ser diferente de zero:
Vamos resolver essa inequação. Primeiro, vamos resolver a equação igualando a zero:
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Onde , e :
Então, os valores de que tornam o determinante zero são:

Resposta

A matriz terá inversa para todo diferente de e .

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes determinantes:
Calcule os seguintes determinantes:
Calcule os seguintes determinantes:
Calcule os seguintes determinantes: