Encontre x para que a matriz A=[ccc3 & 2 x-1 & 1 -1 & 2 & x 1 & 3 & 1] tenha inversa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de que faz com que a matriz tenha uma inversa. Isso está relacionado ao conteúdo de matrizes e determinantes. Para que uma matriz tenha inversa, o seu determinante precisa ser diferente de zero. Então, vamos precisar calcular o determinante da matriz e garantir que ele não seja igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A = 3 & 2x - 1 & 1 -1 & 2 & x 1 & 3 & 1 :
Para encontrar o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a Regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a Regra de Sarrus aqui, que é bem prática.

Passo 3

A Regra de Sarrus consiste em multiplicar os elementos das diagonais principais e depois subtrair os produtos das diagonais secundárias. Vamos aplicar isso na matriz 3 times 2 times 1 = 6 :
Primeiro, multiplicamos as diagonais principais:
(2x - 1) times x times 1 = (2x - 1)x = 2x^2 - x
1 times (-1) times 3 = -3
1 times 2 times 1 = 2
Agora, multiplicamos as diagonais secundárias:
3 times x times 1 = 3x
(2x - 1) times (-1) times 3 = -3(2x - 1) = -6x + 3

Passo 4

Agora, somamos os produtos das diagonais principais e subtraímos os das secundárias:
Determinante = (6 + 2x^2 - x - 3) - (2 + 3x -6x + 3)
Vamos simplificar isso passo a passo:
6 + 2x^2 - x - 3 = 2x^2 - x + 3
2 + 3x -6x + 3 = -3x + 5
Então:
Determinante = (2x^2 - x + 3) - (-3x + 5) = 2x^2 - x + 3 + 3x - 5 = 2x^2 + 2x - 2

Passo 5

Para que a matriz 2x^2 + 2x - 2 neq 0 tenha uma inversa, o determinante precisa ser diferente de zero:
2x^2 + 2x - 2 = 0
Vamos resolver essa inequação. Primeiro, vamos resolver a equação igualando a zero:
x^2 + x - 1 = 0
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
x = -1 pm raiz1 + 42 = -1 pm raiz52
Onde x = -1 + raiz52 e x = -1 - raiz52 , e :
Então, os valores de que tornam o determinante zero são:

Resposta

A matriz terá inversa para todo diferente de e .

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