Lei de Resfriamento de Newton
Na investigação de um homicídio, ou de uma morte acidental, é, muitas vezes, importante estimar o instante da morte. Há uma forma matemática que pode ser usada para este problema. A partir de observações experimentais, sabe-se que, com uma exatidão satisfatória em muitas circunstâncias, a
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temperatura superficial do corpo se altera com uma taxa proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. É o que se conhece como Lei do Resfriamento de Newton.
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura T(t) de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante Ta do meio ambiente, isto é:
dT/dt = -k(T - Ta)
Onde:
T: temperatura do corpo no instante t
Ta : temperatura constante do ambiente
T - Ta: diferença de temperatura
t : tempo
k : constante de proporcionalidade positiva que depende do material que constituí o corpo, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do tempo, em relação à temperatura do meio ambiente.

Problema 1

Suponha que um cadáver seja encontrado em condições suspeitas no instante t0 = 0. A temperatura do corpo é medida imediatamente pelo perito e o valor obtido é T = 30 °C. O corpo é retirado da cena do suposto crime e duas horas depois sua temperatura é novamente medida e o valor encontrado é T1 = 23°C. O crime parece ter ocorrido durante a madrugada e corpo foi encontrado pela manhã bem cedo. A perícia então faz a suposição adicional de que a temperatura do meio ambiente entre a hora da morte Ta e a hora em que o cadáver foi encontrado t0 tenha se mantido mais ou menos constante T ≈ 20 °C. A perícia sabe também que a temperatura normal de um ser humano vivo é de 37 graus C. Com esses dados como a perícia pode determinar a hora do crime?

Problema 2

Segundo a lei de Newton, a velocidade de resfriamento de um corpo no ar é proporcional à diferença da temperatura T do corpo e a temperatura Ta do ambiente. Se a temperatura do ambiente é de 20 graus Celsius e a temperatura do corpo cai, em 20 minutos de 100 °C a 60 graus Celsius, dentro de quanto tempo sua temperatura descerá para 30 graus C ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. A gente tem a Lei do Resfriamento de Newton, que diz que a taxa de resfriamento de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do ambiente. No nosso caso, a temperatura ambiente (Ta) é de 20 graus Celsius. Sabemos que o corpo esfriou de 100 °C para 60 graus Celsius em 20 minutos e queremos descobrir quanto tempo leva para essa temperatura cair até 30 graus C. Vamos precisar usar a equação da Lei do Resfriamento e resolver para o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial da Lei do Resfriamento de Newton:
onde:
  • T(t) é a temperatura do corpo no tempo t,
  • é a temperatura ambiente,
  • k é a constante de proporcionalidade positiva.

Passo 3

Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, separamos as variáveis:
Integrando ambos os lados:
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Podemos reescrever a equação exponencialmente para facilitar:
Ou seja:
Agora, precisamos encontrar as constantes C e k usando as condições iniciais fornecidas.

Passo 5

Primeiro, no tempo inicial , a temperatura é . Substituindo na equação:
Então, a equação fica:

Passo 6

Agora, sabemos que depois de 20 minutos, a temperatura cai para 60 graus Celsius. Substituindo:
Subtraindo 20 de ambos os lados:

Passo 7

Vamos resolver para k. Tiramos o logaritmo natural de ambos os lados:

Passo 8

Agora, queremos descobrir quanto tempo leva para a temperatura cair para 30 graus C. Usamos a equação com :
Subtraindo 20:

Passo 9

Tiramos o logaritmo natural de ambos os lados:
Lembrando que , substituímos:

Resposta

A temperatura do corpo descerá para 30 graus C após 60 minutos.

Exercícios relacionados

a) Encontre y' derivando implicitamente.
b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y' em termos de x.
c) Verifique que suas soluções para as partes (a) e (b) são consistentes substituindo a expressão por y na solução para a parte (a).
I) x * y + 2 * x + 3 * x^2 = 4;
Suponha que uma soma de dinheiro é depositada em um fundo de banco que paga juros à taxa anual r. O valor s(t), do investimento em qualquer tempo t depende da frequência com que o interesse é agravado tão bem como a taxa de juros. As instituições financeiras têm várias políticas relativas à composição: alguns compostos mensalmente, alguns semanal, alguns até diariamente. Se assumirmos que a composição é realizada continuamente, então podemos criar um problema de valor inicial simples que descreve o crescimento do investimento.
A taxa de variação do valor do investimento é dS/dt, e esta quantidade é igual à taxa na qual interesse vencida, qual é a taxa de juros r vezes o valor atual do investimento S(t). Assim, a
dS/dt = rS
é a equação diferencial que governa o processo. Suponha que nós também sabemos o valor do investimento em um determinado tempo, digamos, S(0) = S0.
Qual, a solução do problema de valor inicial dá o equilíbrio S(t) na conta em qualquer tempo t.
Segundo o economista clássico Malthus,
dP/dt = K P
Onde a taxa k é uma constante de proporcionalidade que relaciona a Natalidade ( n ) e a Mortalidade ( m ) e é dada por K = n - m . A Equação Diferencial Linear Ordinária, acima, apresenta como solução a função dada pela expressão P(t) onde P0 é a população inicial no instante t0, ou seja:
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Para a equação diferencial x y y' - 3 y = 0, verifique que y = 4 e^(-x) é uma solução. (Suponha x > 0.) Em seguida, encontre a solução particular determinada pela condição inicial y = 2 quando x = 3.