Lei de Resfriamento de Newton
Na investigação de um homicídio, ou de uma morte acidental, é, muitas vezes, importante estimar o instante da morte. Há uma forma matemática que pode ser usada para este problema. A partir de observações experimentais, sabe-se que, com uma exatidão satisfatória em muitas circunstâncias, a
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temperatura superficial do corpo se altera com uma taxa proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. É o que se conhece como Lei do Resfriamento de Newton.
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura
de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante Ta do meio ambiente, isto é:
Onde:
T: temperatura do corpo no instante
: temperatura constante do ambiente
T - Ta: diferença de temperatura
t : tempo
k : constante de proporcionalidade positiva que depende do material que constituí o corpo, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do tempo, em relação à temperatura do meio ambiente.
Problema 1
Suponha que um cadáver seja encontrado em condições suspeitas no instante
. A temperatura do corpo é medida imediatamente pelo perito e o valor obtido é
. O corpo é retirado da cena do suposto crime e duas horas depois sua temperatura é novamente medida e o valor encontrado é
. O crime parece ter ocorrido durante a madrugada e corpo foi encontrado pela manhã bem cedo. A perícia então faz a suposição adicional de que a temperatura do meio ambiente entre a hora da morte Ta e a hora em que o cadáver foi encontrado
tenha se mantido mais ou menos constante
. A perícia sabe também que a temperatura normal de um ser humano vivo é de
. Com esses dados como a perícia pode determinar a hora do crime?
Problema 2
Segundo a lei de Newton, a velocidade de resfriamento de um corpo no ar é proporcional à diferença da temperatura T do corpo e a temperatura Ta do ambiente. Se a temperatura do ambiente é de
e a temperatura do corpo cai, em 20 minutos de
a
, dentro de quanto tempo sua temperatura descerá para
?
Na investigação de um homicídio, ou de uma morte acidental, é, muitas vezes, importante estimar o instante da morte. Há uma forma matemática que pode ser usada para este problema. A partir de observações experimentais, sabe-se que, com uma exatidão satisfatória em muitas circunstâncias, a
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temperatura superficial do corpo se altera com uma taxa proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. É o que se conhece como Lei do Resfriamento de Newton.
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura
T: temperatura do corpo no instante
T - Ta: diferença de temperatura
t : tempo
k : constante de proporcionalidade positiva que depende do material que constituí o corpo, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do tempo, em relação à temperatura do meio ambiente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. A gente tem a Lei do Resfriamento de Newton, que diz que a taxa de resfriamento de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do ambiente. No nosso caso, a temperatura ambiente (Ta) é de
. Sabemos que o corpo esfriou de
para
em 20 minutos e queremos descobrir quanto tempo leva para essa temperatura cair até
. Vamos precisar usar a equação da Lei do Resfriamento e resolver para o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial da Lei do Resfriamento de Newton:
onde:
-
é a temperatura do corpo no tempo , -
é a temperatura ambiente, -
é a constante de proporcionalidade positiva.
Passo 3
Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, separamos as variáveis:
Integrando ambos os lados:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Podemos reescrever a equação exponencialmente para facilitar:
Ou seja:
Agora, precisamos encontrar as constantes
e
usando as condições iniciais fornecidas.
Passo 5
Primeiro, no tempo inicial
, a temperatura é
. Substituindo na equação:
Então, a equação fica:
Passo 6
Agora, sabemos que depois de 20 minutos, a temperatura cai para
. Substituindo:
Subtraindo 20 de ambos os lados:
Passo 7
Vamos resolver para
. Tiramos o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 8
Agora, queremos descobrir quanto tempo leva para a temperatura cair para
. Usamos a equação com
:
Subtraindo 20:
Passo 9
Tiramos o logaritmo natural de ambos os lados:
Lembrando que
, substituímos:
Resposta
A temperatura do corpo descerá para
após 60 minutos.
Exercícios relacionados
a) Encontre
derivando implicitamente.
b) Resolva a equação explicitamente isolando e derive para obter
em termos de
.
c) Verifique que suas soluções para as partes (a) e (b) são consistentes substituindo a expressão por na solução para a parte (a).
I) ;
b) Resolva a equação explicitamente isolando
c) Verifique que suas soluções para as partes (a) e (b) são consistentes substituindo a expressão por
I)
Suponha que uma soma de dinheiro é depositada em um fundo de banco que paga juros à taxa anual
. O valor
, do investimento em qualquer tempo
depende da frequência com que o interesse é agravado tão bem como a taxa de juros. As instituições financeiras têm várias políticas relativas à composição: alguns compostos mensalmente, alguns semanal, alguns até diariamente. Se assumirmos que a composição é realizada continuamente, então podemos criar um problema de valor inicial simples que descreve o crescimento do investimento.
A taxa de variação do valor do investimento é dS/dt, e esta quantidade é igual à taxa na qual interesse vencida, qual é a taxa de juros vezes o valor atual do investimento
. Assim, a
A taxa de variação do valor do investimento é dS/dt, e esta quantidade é igual à taxa na qual interesse vencida, qual é a taxa de juros
é a equação diferencial que governa o processo. Suponha que nós também sabemos o valor do investimento em um determinado tempo, digamos,
.
Qual, a solução do problema de valor inicial dá o equilíbrio na conta em qualquer tempo
.
Qual, a solução do problema de valor inicial dá o equilíbrio
Segundo o economista clássico Malthus,
Onde a taxa
é uma constante de proporcionalidade que relaciona a Natalidade (
) e a Mortalidade (
) e é dada por
- m . A Equação Diferencial Linear Ordinária, acima, apresenta como solução a função dada pela expressão
onde
é a população inicial no instante
, ou seja:
. Portanto, conclui-se que:
- Se
, a população cresce. - Se
, a população se reduzirá.
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Para a equação diferencial
, verifique que
é uma solução. (Suponha
0.) Em seguida, encontre a solução particular determinada pela condição inicial
quando
.