Encontre , sabendo que .

Passo 1

Beleza! A gente precisa encontrar a derivada de quando . Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente sobre derivadas. Vamos precisar usar a regra da potência para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação à variável . No caso, queremos saber como muda quando muda, especialmente no ponto .

Passo 3

Nossa função é . Para encontrar a derivada, vamos aplicar a regra da potência, que diz que se , onde é uma função de e é um número, então a derivada é:

Passo 4

Aplicando essa regra à nossa função:
Simplificando:
Porque a derivada de em relação a é 1.

Passo 5

Então, a derivada da função é:
Agora, precisamos encontrar o valor dessa derivada quando .

Passo 6

Substituindo na expressão da derivada:

Resposta

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Estude o sinal da expressão:
Para , encontre e encontre o valor mínimo de .
Estude o sinal da expressão:
Calcule , onde .