Estude o sinal da expressão:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa estudar o sinal da expressão . Isso significa descobrir onde essa expressão é positiva, negativa ou igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sinais de expressões algébricas e como identificar os pontos onde cada fator muda de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde cada fator da expressão é igual a zero, porque nesses pontos a expressão toda pode mudar de sinal. Olha só:
  • Para , x = 1.
  • Para , x = -1.
  • Para , x = 0,5.
Então, os pontos críticos são x = -1, x = 0,5 e x = 1.

Passo 3

Agora, vamos dividir a reta dos números em intervalos usando esses pontos críticos:
  1. x < -1
  2. -1 < x < 0,5
  3. 0,5 < x < 1
  4. x > 1
Em cada intervalo, vamos determinar o sinal de cada fator e, depois, o sinal da expressão completa.

Passo 4

Vamos analisar cada intervalo:
  1. x < -1:
    • : negativo (porque x é menor que 1)
    • : negativo (porque x é menor que -1, então 1 + x < 0)
    • : positivo (porque x é negativo, então 1 - 2x > 1)
    Multiplicando os sinais: (-) * (-) * (+) = (+)
  2. -1 < x < 0,5:
    • : negativo (x ainda menor que 1)
    • : positivo (x maior que -1, então 1 + x > 0)
    • : positivo (porque 2x < 1, então 1 - 2x > 0)
    Multiplicando os sinais: (-) * (+) * (+) = (-)
  3. 0,5 < x < 1:
    • : negativo (x ainda menor que 1)
    • : positivo (x maior que -1)
    • : negativo (porque x > 0,5, então 2x > 1, 1 - 2x < 0)
    Multiplicando os sinais: (-) * (+) * (-) = (+)
  4. x > 1:
    • : positivo (x maior que 1)
    • : positivo (x maior que -1)
    • : negativo (x maior que 0,5, então 1 - 2x < 0)
    Multiplicando os sinais: (+) * (+) * (-) = (-)

Resposta

A expressão é positiva para x < -1 e 0,5 < x < 1, e negativa para -1 < x < 0,5 e x > 1.

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