Estude o sinal da expressão:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa estudar o sinal da expressão
. Isso significa descobrir onde essa expressão é positiva, negativa ou igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sinais de expressões algébricas e como identificar os pontos onde cada fator muda de sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde cada fator da expressão é igual a zero, porque nesses pontos a expressão toda pode mudar de sinal. Olha só:
- Para
, x = 1. - Para
, x = -1. - Para
, x = 0,5.
Então, os pontos críticos são x = -1, x = 0,5 e x = 1.
Passo 3
Agora, vamos dividir a reta dos números em intervalos usando esses pontos críticos:
- x < -1
- -1 < x < 0,5
- 0,5 < x < 1
- x > 1
Em cada intervalo, vamos determinar o sinal de cada fator e, depois, o sinal da expressão completa.
Passo 4
Vamos analisar cada intervalo:
-
x < -1:
-
: negativo (porque x é menor que 1) -
: negativo (porque x é menor que -1, então 1 + x < 0) -
: positivo (porque x é negativo, então 1 - 2x > 1)
Multiplicando os sinais: (-) * (-) * (+) = (+) -
-
-1 < x < 0,5:
-
: negativo (x ainda menor que 1) -
: positivo (x maior que -1, então 1 + x > 0) -
: positivo (porque 2x < 1, então 1 - 2x > 0)
Multiplicando os sinais: (-) * (+) * (+) = (-) -
-
0,5 < x < 1:
-
: negativo (x ainda menor que 1) -
: positivo (x maior que -1) -
: negativo (porque x > 0,5, então 2x > 1, 1 - 2x < 0)
Multiplicando os sinais: (-) * (+) * (-) = (+) -
-
x > 1:
-
: positivo (x maior que 1) -
: positivo (x maior que -1) -
: negativo (x maior que 0,5, então 1 - 2x < 0)
Multiplicando os sinais: (+) * (+) * (-) = (-) -
Resposta
A expressão
é positiva para x < -1 e 0,5 < x < 1, e negativa para -1 < x < 0,5 e x > 1.
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, sabendo que
.
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, onde
.
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