Encontre y'(x) sabendo que y = y(x) e cos(y+ x = x e^y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos , ou seja, a derivada de em relação a , sabendo que . Isso envolve conceitos de derivadas implícitas, onde é uma função de e está “misturada” na equação. Para resolver, vamos precisar lembrar das regras de derivação, especialmente da regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada parte da equação .

Passo 3

Derivando o lado esquerdo, , usamos a regra da cadeia. A derivada de é multiplicado pela derivada de . Aqui, , então:

Passo 4

Agora, derivamos o lado direito, . Aqui, usamos a regra do produto, já que temos multiplicando . A regra do produto diz que . Assim:

Passo 5

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:

Passo 6

Queremos isolar . Vamos distribuir :

Passo 7

Vamos reunir todos os termos que contêm de um lado e os demais termos do outro:

Passo 8

Fatoramos no lado esquerdo:

Passo 9

Finalmente, isolamos :

Resposta

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