Encontre y'(x) sabendo que y = y(x) e y^x = x^y

Passo 1

Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . O enunciado nos dá que e que . Vamos usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas implícitas e propriedades de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a derivação. Temos:
Para derivar essa equação, é útil aplicar o logaritmo natural em ambos os lados para simplificar as potências.

Passo 3

Aplicando o logaritmo natural:
Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente:

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então usaremos a regra do produto e a regra da cadeia.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:

Passo 5

Colocando tudo junto, temos:
Agora, queremos isolar . Vamos reorganizar os termos:

Passo 6

Fatorando no lado esquerdo:
Agora, isolamos :

Resposta

A derivada é dada por:

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