Uma partícula se desloca sobre o eixo x vezes y de acordo com uma função posição x = x(t). Sendo v(t) = x'(t) a função velocidade da partícula e a(t) = x''(t) a função aceleração da partícula, determine x = x(t) nos casos abaixo:
a(t) = cos(t/4), v(0) = 1/2 e x(0) = 0

Passo 1

Vamos resolver um problema de movimento de uma partícula ao longo do eixo . A função posição é , e sabemos que a velocidade é a derivada primeira ( ) e a aceleração é a derivada segunda ( ). O enunciado nos dá a aceleração e as condições iniciais e . Nosso objetivo é encontrar a função posição .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade. Então, podemos integrar a aceleração para encontrar a velocidade.
Integrando em relação ao tempo :

Passo 3

Para integrar , usamos a regra da substituição. Seja , então ou .
Substituindo :

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante . Sabemos que .
Portanto, .
Então, a função velocidade é:

Passo 5

Agora, vamos integrar a função velocidade para encontrar a posição .
Vamos integrar cada termo separadamente.
Para :
Usando substituição novamente, seja , então ou .
Substituindo :
Para :
Portanto, a função posição é:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Usamos a condição inicial para encontrar :
Resolvendо para :

Resposta

A função posição da partícula é:

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