Uma partícula se desloca sobre o eixo
de acordo com uma função posição
. Sendo
a função velocidade da partícula e
a função aceleração da partícula, determine
nos casos abaixo:
e
Passo 1
Vamos resolver um problema de movimento de uma partícula ao longo do eixo
. A função posição é
, e sabemos que a velocidade é a derivada primeira (
) e a aceleração é a derivada segunda (
). O enunciado nos dá a aceleração
e as condições iniciais
e
. Nosso objetivo é encontrar a função posição
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade. Então, podemos integrar a aceleração para encontrar a velocidade.
Integrando
em relação ao tempo
:
Passo 3
Para integrar
, usamos a regra da substituição. Seja
, então
ou
.
Substituindo
:
Passo 4
Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante
. Sabemos que
.
Portanto,
.
Então, a função velocidade é:
Passo 5
Agora, vamos integrar a função velocidade para encontrar a posição
.
Vamos integrar cada termo separadamente.
Para
:
Usando substituição novamente, seja
, então
ou
.
Substituindo
:
Para
:
Portanto, a função posição é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Usamos a condição inicial
para encontrar
:
Resolvendо para
:
Resposta
A função posição da partícula é: