Para as seguintes escolhas da matriz
, encontre a solução geral das equações
, classifique o equilíbrio na origem, e esboce o retrato de fase:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu um sistema de equações diferenciais linear do tipo
, onde a matriz
é
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral desse sistema, classificar o ponto de equilíbrio na origem e esboçar o retrato de fase. Para isso, vamos precisar entender sobre autovalores, autovetores e como eles influenciam o comportamento do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores
são encontrados resolvendo a equação característica:
.
No nosso caso:
Calculando o determinante:
Então, os autovalores são:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
:
Isso nos dá que
, então um autovetor correspondente é
.
Para
:
Isso nos dá que
, então um autovetor correspondente é
.
Passo 4
Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. Cada componente da solução envolve exponenciais do tipo
multiplicadas pelos respectivos autovetores.
Então, a solução geral é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos classificar o ponto de equilíbrio na origem. Observamos os autovalores:
-
: indica que em direção ao autovetor , as soluções crescem exponencialmente. -
: indica que em direção ao autovetor , as soluções decaem exponencialmente.
Quando temos autovalores com sinais opostos, o ponto de equilíbrio é chamado de ponto de sela (sela), que é instável.
Passo 6
Por fim, vamos esboçar o retrato de fase. Como temos um ponto de sela:
- As soluções se afastam ao longo da direção do autovetor associado ao autovalor positivo (
). - As soluções se aproximam ao longo da direção do autovetor associado ao autovalor negativo (
).
Isso resulta em trajetórias que se aproximam do eixo
e se afastam ao longo do eixo
, caracterizando um retrato de fase de sela.
Resposta
A solução geral do sistema é
. O ponto de equilíbrio na origem é uma sela, e o retrato de fase apresenta direções de aproximação e afastamento ao longo dos eixos
e
, respectivamente.