Para as seguintes escolhas da matriz A, encontre a solução geral das equações d/dt x = A x, classifique o equilíbrio na origem, e esboce o retrato de fase:
(a) (2 0; 0 -3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um sistema de equações diferenciais linear do tipo , onde a matriz é . Nosso objetivo é encontrar a solução geral desse sistema, classificar o ponto de equilíbrio na origem e esboçar o retrato de fase. Para isso, vamos precisar entender sobre autovalores, autovetores e como eles influenciam o comportamento do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica: .
No nosso caso:
Calculando o determinante:
Então, os autovalores são:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Isso nos dá que , então um autovetor correspondente é .
Para :
Isso nos dá que , então um autovetor correspondente é .

Passo 4

Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. Cada componente da solução envolve exponenciais do tipo multiplicadas pelos respectivos autovetores.
Então, a solução geral é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos classificar o ponto de equilíbrio na origem. Observamos os autovalores:
  • : indica que em direção ao autovetor , as soluções crescem exponencialmente.
  • : indica que em direção ao autovetor , as soluções decaem exponencialmente.
Quando temos autovalores com sinais opostos, o ponto de equilíbrio é chamado de ponto de sela (sela), que é instável.

Passo 6

Por fim, vamos esboçar o retrato de fase. Como temos um ponto de sela:
  • As soluções se afastam ao longo da direção do autovetor associado ao autovalor positivo ( ).
  • As soluções se aproximam ao longo da direção do autovetor associado ao autovalor negativo ( ).
Isso resulta em trajetórias que se aproximam do eixo e se afastam ao longo do eixo , caracterizando um retrato de fase de sela.

Resposta

A solução geral do sistema é . O ponto de equilíbrio na origem é uma sela, e o retrato de fase apresenta direções de aproximação e afastamento ao longo dos eixos e , respectivamente.

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