Resolve estas equações diferenciais que começam em
:
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares e a função delta de Dirac
, que representa um impulso no tempo
. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares e entender como a função delta afeta a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, sem o termo
. A equação homogênea fica:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral dessa equação pode ser encontrada resolvendo a equação característica. Vamos rearranjar:
A solução para isso é uma função exponencial:
onde
é uma constante que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 3
Agora, aplicamos a condição inicial
na solução homogênea:
Então, a solução homogênea específica é:
Passo 4
Em seguida, consideramos o efeito do termo
. A equação completa é:
A função delta de Dirac
age como um impulso que ocorre exatamente em
. Isso significa que a solução
terá uma descontinuidade na derivada em
.
Passo 5
Para lidar com o impulso, usamos a propriedade da função delta que integra um impulso em um ponto específico. Integrando ambos os lados da equação de
até
:
O lado direito se torna 1 devido à propriedade da função delta. O lado esquerdo, considerando que
é contínuo, fica:
Como o intervalo de integração é infinitesimal, o termo integral pode ser desprezado:
Isso indica que
sofre um salto de 1 em
.
Passo 6
Antes do impulso, para
, a solução é
. Então, imediatamente antes de
:
Após o impulso, o salto de 1 dá:
Passo 7
Para
, a equação volta a ser homogênea, pois
. Então, a solução para
é:
Usamos a condição logo após o impulso para encontrar
:
Resolvendo para
:
Passo 8
Assim, a solução completa fica:
Resposta
A solução da equação diferencial é: