Resolve estas equações diferenciais que começam em y(0) = 2 :
(a) y' - y = delta(t - 2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com a condição inicial . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares e a função delta de Dirac , que representa um impulso no tempo . Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares e entender como a função delta afeta a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, sem o termo . A equação homogênea fica:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral dessa equação pode ser encontrada resolvendo a equação característica. Vamos rearranjar:
A solução para isso é uma função exponencial:
onde é uma constante que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 3

Agora, aplicamos a condição inicial na solução homogênea:
Então, a solução homogênea específica é:

Passo 4

Em seguida, consideramos o efeito do termo . A equação completa é:
A função delta de Dirac age como um impulso que ocorre exatamente em . Isso significa que a solução terá uma descontinuidade na derivada em .

Passo 5

Para lidar com o impulso, usamos a propriedade da função delta que integra um impulso em um ponto específico. Integrando ambos os lados da equação de até :
O lado direito se torna 1 devido à propriedade da função delta. O lado esquerdo, considerando que é contínuo, fica:
Como o intervalo de integração é infinitesimal, o termo integral pode ser desprezado:
Isso indica que sofre um salto de 1 em .

Passo 6

Antes do impulso, para , a solução é . Então, imediatamente antes de :
Após o impulso, o salto de 1 dá:

Passo 7

Para , a equação volta a ser homogênea, pois . Então, a solução para é:
Usamos a condição logo após o impulso para encontrar :
Resolvendo para :

Passo 8

Assim, a solução completa fica:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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