Encontre o zero da função usando o método da bisseção, a partir do intervalo inicial . Use , para critério de parada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar o zero da função usando o método da bisseção. Isso faz parte da matéria de Métodos Numéricos, onde a gente busca soluções aproximadas para equações. Para isso, vamos usar o intervalo inicial e parar quando a diferença entre os limites do intervalo for menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método da bisseção. É um jeito de encontrar raízes de funções contínuas dividindo repetidamente um intervalo em dois e escolhendo o subintervalo onde a função muda de sinal. Isso funciona porque, se a função muda de sinal em um intervalo, pela propriedade do valor intermediário, ela deve ter pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Vamos começar verificando se realmente existe uma raiz no nosso intervalo inicial . Para isso, calculamos e :
Como é negativo e é positivo, sabemos que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método da bisseção. Primeiro, encontramos o ponto médio do intervalo:
Calculamos :
Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo . Agora, atualizamos nosso intervalo para e .

Passo 5

Repetimos o processo: encontramos o ponto médio do novo intervalo:
Calculamos :
Agora, é negativo e é positivo, então a raiz está no intervalo . Atualizamos nosso intervalo para e .

Passo 6

Continuamos o processo:
Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo . Atualizamos e .

Passo 7

Mais uma vez:
Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo . Atualizamos e .

Passo 8

Continuando:
Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo . Atualizamos e .

Passo 9

Mais uma iteração:
Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo . Atualizamos e .

Passo 10

Verificamos o critério de parada:
Como , precisamos continuar. Próxima iteração:
Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo . Atualizamos e .

Passo 11

Agora:
Ainda maior que . Continuamos:
Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo . Atualizamos e .

Passo 12

Chegamos perto:
Ainda maior que . Continuamos mais uma vez:
Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo . Atualizamos e .

Passo 13

Agora, verificamos:
Ainda maior que . Vamos mais uma vez:
Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo . Atualizamos e .

Passo 14

Agora:
Ainda maior que . Continuamos:
Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo . Atualizamos e .

Passo 15

Verificamos novamente:
Ainda maior que . Mais uma iteração:
Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo . Atualizamos e .

Passo 16

Chegamos quase lá:
Ainda maior que . Continuamos:
Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo . Atualizamos e .

Passo 17

Agora, verificamos:
Como , atingimos o critério de parada!

Resposta

A raiz da função no intervalo encontrada pelo método da bisseção com é aproximadamente .

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Represente os seguintes números (que estão em base 2) em ponto flutuante de base decimal, sendo o tamanho da mantissa, e expoente . Use truncamento.
Represente os seguintes números (que estão em base 10) em ponto flutuante de base binária, sendo o tamanho da mantissa, e expoente . Use truncamento.
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