Encontre o zero da função usando o método da bisseção, a partir do intervalo inicial I. Use bn-an, para critério de parada.
f(x)=x-cos (x), I=[12, 1], varepsilon=10^-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar o zero da função usando o método da bisseção. Isso faz parte da matéria de Métodos Numéricos, onde a gente busca soluções aproximadas para equações. Para isso, vamos usar o intervalo inicial e parar quando a diferença entre os limites do intervalo for menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método da bisseção. É um jeito de encontrar raízes de funções contínuas dividindo repetidamente um intervalo em dois e escolhendo o subintervalo onde a função muda de sinal. Isso funciona porque, se a função muda de sinal em um intervalo, pela propriedade do valor intermediário, ela deve ter pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Vamos começar verificando se realmente existe uma raiz no nosso intervalo inicial f(12) = 12 - cos(12) approx 12 - 0.8776 = -0.3776 . Para isso, calculamos f(1) = 1 - cos(1) approx 1 - 0.5403 = 0.4597 e :
Como é negativo e é positivo, sabemos que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método da bisseção. Primeiro, encontramos o ponto médio do intervalo:
c = a + b2 = 12 + 12 = 34 = 0.75
Calculamos f(0.75) = 0.75 - cos(0.75) approx 0.75 - 0.7317 = 0.0183 :
Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo . Agora, atualizamos nosso intervalo para e .

Passo 5

Repetimos o processo: encontramos o ponto médio do novo intervalo:
c = 12 + 0.752 = 1.252 = 0.625
Calculamos f(0.625) = 0.625 - cos(0.625) approx 0.625 - 0.8105 = -0.1855 :
Agora, é negativo e é positivo, então a raiz está no intervalo . Atualizamos nosso intervalo para e .

Passo 6

Continuamos o processo:
c = 0.625 + 0.752 = 0.6875
f(0.6875) = 0.6875 - cos(0.6875) approx 0.6875 - 0.7722 = -0.0847
Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo . Atualizamos e .

Passo 7

Mais uma vez:
c = 0.6875 + 0.752 = 0.71875
f(0.71875) = 0.71875 - cos(0.71875) approx 0.71875 - 0.7525 = -0.03375
Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo . Atualizamos e .

Passo 8

Continuando:
c = 0.71875 + 0.752 = 0.734375
f(0.734375) = 0.734375 - cos(0.734375) approx 0.734375 - 0.7419 = -0.007525
Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo . Atualizamos e .

Passo 9

Mais uma iteração:
c = 0.734375 + 0.752 = 0.7421875
f(0.7421875) = 0.7421875 - cos(0.7421875) approx 0.7421875 - 0.7395 = 0.0026875
Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo . Atualizamos e .

Passo 10

Verificamos o critério de parada:
b - a = 0.7421875 - 0.734375 = 0.0078125
Como c = 0.734375 + 0.74218752 = 0.73828125 , precisamos continuar. Próxima iteração:
f(0.73828125) = 0.73828125 - cos(0.73828125) approx 0.73828125 - 0.7390 = -0.00071875
Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo . Atualizamos e .

Passo 11

Agora:
b - a = 0.7421875 - 0.73828125 = 0.00390625
Ainda maior que c = 0.73828125 + 0.74218752 = 0.740234375 . Continuamos:
f(0.740234375) = 0.740234375 - cos(0.740234375) approx 0.740234375 - 0.7388 = 0.001434375
Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo . Atualizamos e .

Passo 12

Chegamos perto:
b - a = 0.740234375 - 0.73828125 = 0.001953125
Ainda maior que c = 0.73828125 + 0.7402343752 = 0.7392578125 . Continuamos mais uma vez:
f(0.7392578125) = 0.7392578125 - cos(0.7392578125) approx 0.7392578125 - 0.7393 = -0.0000421875
Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo . Atualizamos e .

Passo 13

Agora, verificamos:
b - a = 0.740234375 - 0.7392578125 = 0.0009765625
Ainda maior que c = 0.7392578125 + 0.7402343752 = 0.73974609375 . Vamos mais uma vez:
f(0.73974609375) = 0.73974609375 - cos(0.73974609375) approx 0.73974609375 - 0.7391 = 0.00064609375
Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo . Atualizamos e .

Passo 14

Agora:
b - a = 0.73974609375 - 0.7392578125 = 0.00048828125
Ainda maior que c = 0.7392578125 + 0.739746093752 = 0.739501953125 . Continuamos:
f(0.739501953125) = 0.739501953125 - cos(0.739501953125) approx 0.739501953125 - 0.7392 = 0.000301953125
Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo . Atualizamos e .

Passo 15

Verificamos novamente:
b - a = 0.739501953125 - 0.7392578125 = 0.000244140625
Ainda maior que c = 0.7392578125 + 0.7395019531252 = 0.7393798828125 . Mais uma iteração:
f(0.7393798828125) = 0.7393798828125 - cos(0.7393798828125) approx 0.7393798828125 - 0.7392 = 0.0001798828125
Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo . Atualizamos e .

Passo 16

Chegamos quase lá:
b - a = 0.7393798828125 - 0.7392578125 = 0.0001220703125
Ainda maior que c = 0.7392578125 + 0.73937988281252 = 0.73931884765625 . Continuamos:
f(0.73931884765625) = 0.73931884765625 - cos(0.73931884765625) approx 0.73931884765625 - 0.7391 = 0.00021884765625
Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo . Atualizamos e .

Passo 17

Agora, verificamos:
b - a = 0.73931884765625 - 0.7392578125 = 0.00006103515625
Como , atingimos o critério de parada!

Resposta

A raiz da função no intervalo encontrada pelo método da bisseção com é aproximadamente .

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