Encontre o zero da função usando o método da bisseção, a partir do intervalo inicial I. Use bn-an, para critério de parada.
f(x)=x e^x-5, I=[1,2], varepsilon=10^-4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o zero da função usando o método da bisseção. Isso significa que queremos descobrir qual valor de faz com que . A gente vai começar com o intervalo inicial e vai continuar dividindo esse intervalo ao meio até que a diferença entre os limites seja menor que . Para isso, vamos precisar entender como o método da bisseção funciona e aplicar suas etapas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função muda de sinal no intervalo inicial f(1) = 1 cdot e^1 - 5 approx 2.718 - 5 = -2.282 . Isso é importante porque o método da bisseção só funciona se a função tiver pelo menos um zero nesse intervalo. Vamos calcular f(2) = 2 cdot e^2 - 5 approx 14.778 - 5 = 9.778 e :
Como é negativo e é positivo, a função realmente muda de sinal no intervalo, garantindo que existe pelo menos um zero aí.

Passo 3

Agora, vamos começar o método da bisseção. A ideia é dividir o intervalo ao meio e ver em qual metade a função muda de sinal. O ponto médio c = a + b2 do intervalo c = 1 + 22 = 1.5 é calculado por:
f(1.5) = 1.5 cdot e^1.5 - 5 approx 6.086 - 5 = 1.086
Vamos aplicar isso no primeiro intervalo :
Agora, calculamos :
Como é positivo e é negativo, sabemos que o zero está entre e . Então, nosso novo intervalo é .

Passo 4

Vamos repetir o processo com o novo intervalo c = 1 + 1.52 = 1.25 . Calculamos o ponto médio:
f(1.25) = 1.25 cdot e^1.25 - 5 approx 4.264 - 5 = -0.736
Calculamos :
Agora, como é negativo e é positivo, o zero está entre e . Nosso novo intervalo é .

Passo 5

Continuando com c = 1.25 + 1.52 = 1.375 , calculamos o ponto médio:
f(1.375) = 1.375 cdot e^1.375 - 5 approx 5.067 - 5 = 0.067
Calculamos :
Como é positivo e é negativo, o zero está entre e . Novo intervalo: .

Passo 6

Agora, com c = 1.25 + 1.3752 = 1.3125 , calculamos:
f(1.3125) = 1.3125 cdot e^1.3125 - 5 approx 4.664 - 5 = -0.336
Calculamos :
Como é negativo e é positivo, o zero está entre e . Atualizamos o intervalo para .

Passo 7

Continuamos com c = 1.3125 + 1.3752 = 1.34375 :
f(1.34375) = 1.34375 cdot e^1.34375 - 5 approx 4.864 - 5 = -0.136
Calculamos :
Como é negativo e é positivo, o zero está entre e . Novo intervalo: .

Passo 8

Mais uma divisão com c = 1.34375 + 1.3752 = 1.359375 :
f(1.359375) = 1.359375 cdot e^1.359375 - 5 approx 4.965 - 5 = -0.035
Calculamos :
Como é negativo e é positivo, o zero está entre e . Atualizamos para .

Passo 9

Agora, com c = 1.359375 + 1.3752 = 1.3671875 :
f(1.3671875) = 1.3671875 cdot e^1.3671875 - 5 approx 5.013 - 5 = 0.013
Calculamos :
Como é positivo e é negativo, o zero está entre e . Novo intervalo: .

Passo 10

Vamos verificar a condição de parada: a diferença entre os limites do intervalo é , que ainda é maior que . Continuamos o processo até que essa diferença seja menor que . Após várias iterações seguindo o mesmo padrão, vamos chegar perto do zero com uma precisão desejada.

Resposta

Após aplicar o método da bisseção, o zero da função no intervalo é aproximadamente .

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