Encontre o zero da função usando o método de Newton, a partir do ponto inicial x0. Use |f(xn)|, como critério de parada.
f(x)=x^3+3 x-2, x0=0, x1=1, varepsilon=10^-10

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o zero da função usando o método de Newton, começando no ponto inicial . O zero da função é o valor de que faz . Para isso, vamos precisar:
  • A função
  • A derivada da função
  • O ponto inicial
  • O critério de parada , onde
Vamos seguir passo a passo para chegar ao zero da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f'(x) = ddx(x^3 + 3x - 2) = 3x^2 + 3 . A derivada nos ajuda a entender a inclinação da função em cada ponto, o que é essencial para o método de Newton.

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula do método de Newton para encontrar o próximo ponto xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) a partir do ponto atual f(x0) = f(0) = 0^3 + 3 times 0 - 2 = -2 :
f'(x0) = f'(0) = 3 times 0^2 + 3 = 3
Começando com x1 = 0 - -23 = 23 approx 0.6666666667 :
Então,

Passo 4

Verificamos o critério de parada com |f(x1)| = | (23)^3 + 3 times 23 - 2 | = | 827 + 2 - 2 | = | 827 | approx 0.2963 :
Como , precisamos continuar iterando.

Passo 5

Calculamos f(x1) = (23)^3 + 3 times 23 - 2 = 827 + 2 - 2 = 827 :
f'(x1) = 3 times (23)^2 + 3 = 3 times 49 + 3 = 129 + 3 = 43 + 3 = 133
x2 = 23 - 827133 = 23 - 827 times 313 = 23 - 24351 = 23 - 8117 = 78117 - 8117 = 70117 approx 0.59829

Passo 6

Verificamos o critério de parada com f(x2) = (0.59829)^3 + 3 times 0.59829 - 2 approx 0.2138 + 1.7949 - 2 = 0.0087 :
Como , continuamos.

Passo 7

Calculamos f(x2) approx 0.0087 :
f'(x2) = 3 times (0.59829)^2 + 3 approx 3 times 0.35795 + 3 = 1.07385 + 3 = 4.07385
x3 = 0.59829 - 0.00874.07385 approx 0.59829 - 0.002133 approx 0.59616

Passo 8

Verificamos o critério de parada com f(x3) approx (0.59616)^3 + 3 times 0.59616 - 2 approx 0.2113 + 1.7885 - 2 = -0.0002 :
Como , continuamos.

Passo 9

Calculamos f(x3) approx -0.0002 :
f'(x3) = 3 times (0.59616)^2 + 3 approx 3 times 0.3554 + 3 = 1.0662 + 3 = 4.0662
x4 = 0.59616 - -0.00024.0662 approx 0.59616 + 0.00005 approx 0.59621

Passo 10

Verificamos o critério de parada com f(x4) approx 0 :
Como , paramos as iterações.

Resposta

O zero da função encontrado pelo método de Newton é aproximadamente .

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