Encontre o zero da função usando o método de Newton, a partir do ponto inicial x0. Use |f(xn)|, como critério de parada.
f(x)=x e^x-5, x0=1, x1=2, varepsilon=10^-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o zero da função usando o método de Newton, começando do ponto inicial . A função dada é e vamos parar quando . Para isso, vamos usar o método de Newton, que é uma técnica para encontrar raízes de funções de forma iterativa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona o método de Newton. A ideia é começar com um palpite inicial xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) e, em cada etapa, melhorar esse palpite usando a fórmula:
Aqui, é a derivada da função . Então, para aplicar essa fórmula, a gente precisa calcular a derivada da função que a gente tem.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de f'(x) = ddx(x e^x) - ddx(5) = e^x + x e^x - 0 = e^x(1 + x) . Usando a regra do produto para derivadas, temos:
Então, nossa derivada é .

Passo 4

Agora, vamos começar as iterações do método de Newton. Já nos foi dado que f(2) = 2 e^2 - 5 approx 2 times 7.3891 - 5 approx 14.7782 - 5 = 9.7782 e . Vamos verificar se :
Primeiro, calculamos :
Como que é maior que , precisamos continuar com a próxima iteração.

Passo 5

Vamos calcular x2 = x1 - f(x1)f'(x1) usando a fórmula do método de Newton:
x2 = 2 - 9.778222.1673 approx 2 - 0.4409 approx 1.5591
Sabemos que f(1.5591) = 1.5591 e^1.5591 - 5 approx 1.5591 times 4.7554 - 5 approx 7.4142 - 5 = 2.4142 , e .
Então,
Agora, vamos verificar :
Como ainda é maior que , continuamos para .

Passo 6

Calculando x3 = x2 - f(x2)f'(x2) :
f'(1.5591) = e^1.5591(1 + 1.5591) approx 4.7554 times 2.5591 approx 12.1699
Primeiro, calculemos x3 = 1.5591 - 2.414212.1699 approx 1.5591 - 0.1982 approx 1.3609 :
f(1.3609) = 1.3609 e^1.3609 - 5 approx 1.3609 times 3.8953 - 5 approx 5.2946 - 5 = 0.2946
Então,
Verificamos :
Ainda , então vamos para .

Passo 7

Calculando x4 = x3 - f(x3)f'(x3) :
f'(1.3609) = e^1.3609(1 + 1.3609) approx 3.8953 times 2.3609 approx 9.2063
Calculando x4 = 1.3609 - 0.29469.2063 approx 1.3609 - 0.0320 approx 1.3289 :
f(1.3289) = 1.3289 e^1.3289 - 5 approx 1.3289 times 3.7724 - 5 approx 5.0039 - 5 = 0.0039
Então,
Agora, verificamos :
Agora, . Então, atendemos ao critério de parada!

Resposta

O zero da função usando o método de Newton é aproximadamente .

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