Encontre o zero da função usando o método de Newton, a partir do ponto inicial . Use , como critério de parada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o zero da função usando o método de Newton, começando do ponto inicial . A função dada é e vamos parar quando . Para isso, vamos usar o método de Newton, que é uma técnica para encontrar raízes de funções de forma iterativa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona o método de Newton. A ideia é começar com um palpite inicial e, em cada etapa, melhorar esse palpite usando a fórmula:
Aqui, é a derivada da função . Então, para aplicar essa fórmula, a gente precisa calcular a derivada da função que a gente tem.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Usando a regra do produto para derivadas, temos:
Então, nossa derivada é .

Passo 4

Agora, vamos começar as iterações do método de Newton. Já nos foi dado que e . Vamos verificar se :
Primeiro, calculamos :
Como que é maior que , precisamos continuar com a próxima iteração.

Passo 5

Vamos calcular usando a fórmula do método de Newton:
Sabemos que , e .
Então,
Agora, vamos verificar :
Como ainda é maior que , continuamos para .

Passo 6

Calculando :
Primeiro, calculemos :
Então,
Verificamos :
Ainda , então vamos para .

Passo 7

Calculando :
Calculando :
Então,
Agora, verificamos :
Agora, . Então, atendemos ao critério de parada!

Resposta

O zero da função usando o método de Newton é aproximadamente .

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Resp. .
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Resp. (a) , (b) .
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Resp. .
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Resp. .