Encontre o zero da função usando o método de Newton, a partir do ponto inicial
. Use
, como critério de parada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o zero da função usando o método de Newton, começando do ponto inicial
. A função dada é
e vamos parar quando
. Para isso, vamos usar o método de Newton, que é uma técnica para encontrar raízes de funções de forma iterativa.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funciona o método de Newton. A ideia é começar com um palpite inicial
e, em cada etapa, melhorar esse palpite usando a fórmula:
Aqui,
é a derivada da função
. Então, para aplicar essa fórmula, a gente precisa calcular a derivada da função que a gente tem.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Usando a regra do produto para derivadas, temos:
Então, nossa derivada é
.
Passo 4
Agora, vamos começar as iterações do método de Newton. Já nos foi dado que
e
. Vamos verificar se
:
Primeiro, calculamos
:
Como
que é maior que
, precisamos continuar com a próxima iteração.
Passo 5
Vamos calcular
usando a fórmula do método de Newton:
Sabemos que
,
e
.
Então,
Agora, vamos verificar
:
Como
ainda é maior que
, continuamos para
.
Passo 6
Calculando
:
Primeiro, calculemos
:
Então,
Verificamos
:
Ainda
, então vamos para
.
Passo 7
Calculando
:
Calculando
:
Então,
Agora, verificamos
:
Agora,
. Então, atendemos ao critério de parada!
Resposta
O zero da função
usando o método de Newton é aproximadamente
.