Um fio horizontal com uma massa por unidade de comprimento de
é percorrido por uma corrente de 4 A na direção positiva de
. Se o fio for colocado em uma densidade de fluxo magnético
uniforme, qual deve ser a direção e o módulo mínimo de B para que o fio seja magneticamente elevado na vertical? (Dica: A aceleração devido à gravidade é
.)
Resp.
.
Resp.
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um fio horizontal com uma massa por unidade de comprimento de
e uma corrente de
correndo na direção positiva de
. Queremos descobrir a direção e o módulo mínimo do campo magnético
necessário para que o fio seja levantado verticalmente. Para isso, vamos precisar entender como a força magnética atua sobre um fio com corrente e como equilibrar isso com a força da gravidade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a força gravitacional que age no fio. A força gravitacional (
) pode ser encontrada multiplicando a massa total do fio pela aceleração da gravidade. Mas como não temos o comprimento do fio, vamos expressar a força por unidade de comprimento.
A massa por unidade de comprimento (
) é
, e a aceleração da gravidade (
) é
na direção
.
Então, a força gravitacional por unidade de comprimento é:
Passo 3
Agora, precisamos determinar a força magnética que atua no fio. A força magnética (
) em um fio com corrente é dada pela fórmula:
onde:
-
é a corrente, -
é o vetor comprimento do fio na direção da corrente, -
é o campo magnético.
Como estamos trabalhando por unidade de comprimento, ajustamos a fórmula para:
Aqui,
é o vetor unitário na direção da corrente, que é o
.
Passo 4
Para que o fio seja levantado verticalmente, a força magnética precisa equilibrar a força gravitacional. Isso significa que:
Substituindo as expressões que temos:
Passo 5
Vamos resolver o produto vetorial
. Suponha que
tenha componentes
,
e
:
Para que isso resulte em uma força na direção
, precisamos que
. Portanto,
está na direção
.
Passo 6
Agora, temos:
Simplificando, encontramos:
Substituindo o valor de
:
Resposta
A direção do campo magnético
deve ser na direção positiva de
e o módulo mínimo necessário é
. Portanto: