Um fio horizontal com uma massa por unidade de comprimento de é percorrido por uma corrente de 4 A na direção positiva de . Se o fio for colocado em uma densidade de fluxo magnético uniforme, qual deve ser a direção e o módulo mínimo de B para que o fio seja magneticamente elevado na vertical? (Dica: A aceleração devido à gravidade é .)
Resp. .

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um fio horizontal com uma massa por unidade de comprimento de e uma corrente de correndo na direção positiva de . Queremos descobrir a direção e o módulo mínimo do campo magnético necessário para que o fio seja levantado verticalmente. Para isso, vamos precisar entender como a força magnética atua sobre um fio com corrente e como equilibrar isso com a força da gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a força gravitacional que age no fio. A força gravitacional ( ) pode ser encontrada multiplicando a massa total do fio pela aceleração da gravidade. Mas como não temos o comprimento do fio, vamos expressar a força por unidade de comprimento.
A massa por unidade de comprimento ( ) é , e a aceleração da gravidade ( ) é na direção .
Então, a força gravitacional por unidade de comprimento é:

Passo 3

Agora, precisamos determinar a força magnética que atua no fio. A força magnética ( ) em um fio com corrente é dada pela fórmula:
onde:
  • é a corrente,
  • é o vetor comprimento do fio na direção da corrente,
  • é o campo magnético.
Como estamos trabalhando por unidade de comprimento, ajustamos a fórmula para:
Aqui, é o vetor unitário na direção da corrente, que é o .

Passo 4

Para que o fio seja levantado verticalmente, a força magnética precisa equilibrar a força gravitacional. Isso significa que:
Substituindo as expressões que temos:

Passo 5

Vamos resolver o produto vetorial . Suponha que tenha componentes , e :
Para que isso resulte em uma força na direção , precisamos que . Portanto, está na direção .

Passo 6

Agora, temos:
Simplificando, encontramos:
Substituindo o valor de :

Resposta

A direção do campo magnético deve ser na direção positiva de e o módulo mínimo necessário é . Portanto:

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