Encontre o zero da função usando o método de Newton, a partir do ponto inicial x0. Use |f(xn)|, como critério de parada.
f(x)=x-cos (x), x0=12, x1=1, varepsilon=10^-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar o zero da função f(x) = x - cos(x) usando o Método de Newton. Isso significa que estamos procurando um valor de x onde f(x) = 0. Para isso, vamos precisar da derivada da função e usar a fórmula do Método de Newton. O ponto de partida que a gente tem é x0 = 12, e o critério para parar é quando |f(xn)| < 10^-1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do Método de Newton. Ela é a seguinte:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Isso quer dizer que, para cada passo, a gente usa o valor atual de xn para encontrar o próximo valor xn+1.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada da função f(x) = x - cos(x). Vamos fazer isso:
f'(x) = ddx(x) - ddx(cos(x)) = 1 + sin(x)
Então, f'(x) = 1 + sin(x).

Passo 4

Vamos começar a aplicar o Método de Newton começando com x0 = 12. Primeiro, calculamos f(x0) e f'(x0):
f(12) = 12 - cos(12) approx 0.5 - 0.8776 = -0.3776
f'(12) = 1 + sin(12) approx 1 + 0.4794 = 1.4794
Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton para encontrar x1:
x1 = x0 - f(x0)f'(x0) = 0.5 - -0.37761.4794 approx 0.5 + 0.2552 = 0.7552

Passo 5

Vamos verificar se o critério de parada |f(x1)| < 10^-1 é atendido. Calculamos f(x1):
f(0.7552) = 0.7552 - cos(0.7552) approx 0.7552 - 0.7284 = 0.0268
Como 0.0268 < 0.1, a gente pode parar por aqui!

Resposta

O zero da função f(x) = x - cos(x) usando o Método de Newton, com ponto inicial x0 = 12 e critério de parada |f(xn)| < 10^-1, é aproximadamente x approx 0.7552.

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