Encontro o proterto scalar dados seyuinte:
F1=2 imath-4 jmath, F2=8 imath+8 jmath, F3=9 imath, F4=9 imath+4 k
Fperp cdot F1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o produto escalar entre dois vetores, especificamente F1 = 2, imath - 4, jmath, F2 = 8, imath + 8, jmath, F3 = 9, imath, F4 = 9, imath + 4, k e . Para isso, vamos usar os vetores que foram fornecidos:
Vamos precisar entender como calcular o produto escalar e identificar o que é nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é produto escalar. O produto escalar (ou produto interno) entre dois vetores A cdot B = Ax Bx + Ay By + Az Bz e é dado por:
Ele resulta em um número que nos dá informações sobre a relação angular entre os vetores.

Passo 3

Agora, precisamos entender o que é . O símbolo indica que esse vetor é perpendicular a algum outro vetor. Geralmente, é a componente de uma força que é perpendicular a uma referência, que nesse caso pode ser .
Então, provavelmente, é a parte de alguma combinação dos vetores fornecidos que está perpendicular a .

Passo 4

Vamos assumir que Ftotal = F2 + F3 + F4 é a componente resultante das forças Ftotal = (8, imath + 8, jmath) + (9, imath) + (9, imath + 4, k) = (8 + 9 + 9), imath + 8, jmath + 4, k = 26, imath + 8, jmath + 4, k , e que é perpendicular a . Primeiro, vamos somar essas forças para encontrar a força total:
Calculando cada componente:

Passo 5

Agora, queremos encontrar a componente de Fperp = Ftotal - ProjF1 Ftotal que é perpendicular a ProjF1 Ftotal = ( Ftotal cdot F1F1 cdot F1 ) F1 . Para isso, usamos a fórmula da projeção:
Onde é a projeção de sobre , dada por:

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar Ftotal cdot F1 = (26, imath + 8, jmath + 4, k) cdot (2, imath - 4, jmath) = (26 times 2) + (8 times -4) + (4 times 0) = 52 - 32 + 0 = 20 :
F1 cdot F1 = (2)^2 + (-4)^2 = 4 + 16 = 20
E o produto escalar :

Passo 7

Agora, calculamos a projeção:
ProjF1 Ftotal = ( 2020 ) F1 = 1 times F1 = 2, imath - 4, jmath

Passo 8

Finalmente, encontramos Fperp = Ftotal - ProjF1 Ftotal = (26, imath + 8, jmath + 4, k) - (2, imath - 4, jmath) = 24, imath + 12, jmath + 4, k :

Passo 9

Agora, vamos calcular o produto escalar Fperp cdot F1 = (24, imath + 12, jmath + 4, k) cdot (2, imath - 4, jmath) = (24 times 2) + (12 times -4) + (4 times 0) = 48 - 48 + 0 = 0 :

Resposta

O produto escalar é igual a 0.

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