Encontro o proterto scalar dados seyuinte:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o produto escalar entre dois vetores, especificamente e . Para isso, vamos usar os vetores que foram fornecidos:
Vamos precisar entender como calcular o produto escalar e identificar o que é nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é produto escalar. O produto escalar (ou produto interno) entre dois vetores e é dado por:
Ele resulta em um número que nos dá informações sobre a relação angular entre os vetores.

Passo 3

Agora, precisamos entender o que é . O símbolo indica que esse vetor é perpendicular a algum outro vetor. Geralmente, é a componente de uma força que é perpendicular a uma referência, que nesse caso pode ser .
Então, provavelmente, é a parte de alguma combinação dos vetores fornecidos que está perpendicular a .

Passo 4

Vamos assumir que é a componente resultante das forças , e que é perpendicular a . Primeiro, vamos somar essas forças para encontrar a força total:
Calculando cada componente:

Passo 5

Agora, queremos encontrar a componente de que é perpendicular a . Para isso, usamos a fórmula da projeção:
Onde é a projeção de sobre , dada por:

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar :
E o produto escalar :

Passo 7

Agora, calculamos a projeção:

Passo 8

Finalmente, encontramos :

Passo 9

Agora, vamos calcular o produto escalar :

Resposta

O produto escalar é igual a 0.

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