Encoutre a derivada direcional de
no ponto
na diregáo da origem.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção da origem. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente o cálculo de derivadas direcionais. Para resolver, vamos precisar calcular o gradiente da função e o vetor de direção unitário na direção da origem.
Passo 2
Primeiro, identificamos o ponto
e a origem
. A direção da origem a partir de
é dada pelo vetor
.
Passo 3
Agora, precisamos normalizar o vetor
para obter o vetor de direção unitário
. A normalização é feita dividindo cada componente do vetor pelo seu comprimento.
O comprimento de
é:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 4
Em seguida, calculamos o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Calculando as derivadas:
Então, o gradiente é:
Passo 5
Agora, avaliamos o gradiente no ponto
:
Sabemos que
e
, então:
Passo 6
Finalmente, calculamos a derivada direcional
fazendo o produto escalar entre o gradiente no ponto
e o vetor de direção unitário
:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção da origem é
.
Exercícios relacionados
Obtenha equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de
no ponto em que
.
Resolva as seguintes equações diferenciais, por separação de variáveis. Verifique nos itens
e
se as soluções encontradas estão corretas.
Resolva as seguintes equações diferenciais, por separação de variáveis. Verifique nos itens
e
se as soluções encontradas estão corretas.