Encoutre a derivada direcional de no ponto na diregáo da origem.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção da origem. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente o cálculo de derivadas direcionais. Para resolver, vamos precisar calcular o gradiente da função e o vetor de direção unitário na direção da origem.

Passo 2

Primeiro, identificamos o ponto e a origem . A direção da origem a partir de é dada pelo vetor .

Passo 3

Agora, precisamos normalizar o vetor para obter o vetor de direção unitário . A normalização é feita dividindo cada componente do vetor pelo seu comprimento.
O comprimento de é:
Então, o vetor unitário é:

Passo 4

Em seguida, calculamos o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e .
Calculando as derivadas:
Então, o gradiente é:

Passo 5

Agora, avaliamos o gradiente no ponto :
Sabemos que e , então:

Passo 6

Finalmente, calculamos a derivada direcional fazendo o produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor de direção unitário :

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção da origem é .

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