Resolva as seguintes equações diferenciais, por separação de variáveis. Verifique nos itens b e c se as soluções encontradas estão corretas.
tg(x) * sec(y) * dx - tg(y) * sec(x) * dy = 0

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa equação diferencial usando separação de variáveis. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como separar as variáveis envolvidas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a separação das variáveis e . Podemos reescrever a equação da seguinte maneira:
Isso ajuda a deixar os termos de de um lado e os de do outro.

Passo 3

Agora, vamos separar e . Para fazer isso, vamos dividir ambos os lados da equação por :
Lembre-se que e , então podemos simplificar as expressões.

Passo 4

Vamos simplificar cada lado da equação:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Então, a equação fica:

Passo 5

Agora, vamos trazer todos os termos de para um lado e os de para o outro:
Lembrando que , podemos reescrever:

Passo 6

Agora, podemos integrar ambos os lados da equação:
Integrando:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Vamos simplificar a equação para encontrar a relação entre e :
Podemos reescrever como:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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