Resolva as seguintes equações diferenciais, por separação de variáveis. Verifique nos itens
e
se as soluções encontradas estão corretas.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa equação diferencial usando separação de variáveis. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como separar as variáveis envolvidas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a separação das variáveis
e
. Podemos reescrever a equação da seguinte maneira:
Isso ajuda a deixar os termos de
de um lado e os de
do outro.
Passo 3
Agora, vamos separar
e
. Para fazer isso, vamos dividir ambos os lados da equação por
:
Lembre-se que
e
, então podemos simplificar as expressões.
Passo 4
Vamos simplificar cada lado da equação:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos trazer todos os termos de
para um lado e os de
para o outro:
Lembrando que
, podemos reescrever:
Passo 6
Agora, podemos integrar ambos os lados da equação:
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Vamos simplificar a equação para encontrar a relação entre
e
:
Podemos reescrever como:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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no ponto
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.
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