Obtenha equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de no ponto em que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico da função vetorial no ponto onde . A função é dada por:
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas de funções vetoriais e como elas nos dão a direção da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto específico no gráfico onde . Isso significa que vamos substituir por na função :
Calculando cada componente:
Então,
Esse é o ponto pelo qual a reta tangente vai passar.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função vetorial , que nos dá o vetor tangente à curva no ponto considerado. A derivada de em relação a é:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 4
Vamos avaliar a derivada no ponto para obter o vetor direção da reta tangente naquele ponto:
Substituindo os valores trigonométricos:
Então,
Esse é o vetor direção da reta tangente.
Passo 5
Com o ponto e o vetor direção , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente.
As equações paramétricas de uma reta são dadas por:
Onde é o ponto pela qual a reta passa e são as componentes do vetor direção.