Resolva as seguintes equações diferenciais, por separação de variáveis. Verifique nos itens e se as soluções encontradas estão corretas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de separação de variáveis. Esse método é útil quando conseguimos separar as variáveis e em lados diferentes da equação. Para isso, precisamos reorganizar a equação de forma que tudo com fique de um lado e tudo com do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar os termos e . Podemos reescrever a equação assim:
Dividindo ambos os lados por e por (desde que e não sejam zero), temos:
Agora, as variáveis estão separadas: está do lado esquerdo e do lado direito.

Passo 3

O próximo passo é integrar ambos os lados da equação. A integração é o inverso da derivada e nos ajuda a encontrar a função original. Integramos cada lado:
A integral de é e a de é . Então, temos:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos resolver para . Podemos simplificar a equação exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Isso simplifica para:
Podemos chamar de outra constante (já que é uma constante arbitrária), então:
Removendo os valores absolutos e reorganizando, temos:
Como também é uma constante, podemos simplesmente escrever:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante real.

Exercícios relacionados

Calcule a derivada da função.
Obtenha .
Obtenha equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de no ponto em que .
Encoutre a derivada direcional de no ponto na diregáo da origem.