Resolva as seguintes equações diferenciais, por separação de variáveis. Verifique nos itens
e
se as soluções encontradas estão corretas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial
usando o método de separação de variáveis. Esse método é útil quando conseguimos separar as variáveis
e
em lados diferentes da equação. Para isso, precisamos reorganizar a equação de forma que tudo com
fique de um lado e tudo com
do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar os termos
e
. Podemos reescrever a equação assim:
Dividindo ambos os lados por
e por
(desde que
e
não sejam zero), temos:
Agora, as variáveis estão separadas:
está do lado esquerdo e
do lado direito.
Passo 3
O próximo passo é integrar ambos os lados da equação. A integração é o inverso da derivada e nos ajuda a encontrar a função original. Integramos cada lado:
A integral de
é
e a de
é
. Então, temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos resolver para
. Podemos simplificar a equação exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Isso simplifica para:
Podemos chamar
de outra constante
(já que
é uma constante arbitrária), então:
Removendo os valores absolutos e reorganizando, temos:
Como
também é uma constante, podemos simplesmente escrever:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada da função.
Obtenha
.
Obtenha equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de
no ponto em que
.
Encoutre a derivada direcional de
no ponto
na diregáo da origem.