Seja
uma função duas vezes derivável, com
para todo
. Mostre que
é convexa.
Passo 1
Vamos analisar o exercício que você me enviou. Temos uma função
que é duas vezes derivável e sua segunda derivada
é maior ou igual a zero para todo
em
. O objetivo é mostrar que
é uma função convexa. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função convexa e como a segunda derivada está relacionada a essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser convexa. Uma função
é dita convexa em um intervalo se, para quaisquer dois pontos
e
no intervalo e para qualquer
entre 0 e 1, a seguinte condição é satisfeita:
Isso basicamente diz que a linha que liga dois pontos na gráfica da função está sempre acima ou na própria gráfica.
Passo 3
Agora, vamos relacionar isso com a segunda derivada. A segunda derivada de uma função nos dá informações sobre a concavidade ou convexidade da função. Se
para todo
no intervalo, isso indica que a função é convexa naquele intervalo. Isso ocorre porque uma segunda derivada não negativa significa que a taxa de variação da inclinação da função está aumentando, o que caracteriza uma curva “para cima”, típica das funções convexas.
Passo 4
Vamos formalizar isso. Sabemos que se
, então
é uma função não decrescente. Isso implica que para quaisquer
em
, temos:
Isso mostra que a inclinação da linha secante entre
e
é maior ou igual à inclinação da tangente em
, reforçando a ideia de que a função está “afundando” nesse intervalo, característica das funções convexas.
Passo 5
Portanto, combinando essas observações, concluímos que se uma função é duas vezes derivável e sua segunda derivada é não negativa em todo o intervalo considerado, então a função é convexa nesse intervalo.
Resposta
A função
é convexa no intervalo
.
Exercícios relacionados
Seja
tal que
para todo
. Prove que
é constante.
Encuentra en cada caso la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
Prove que se
é contínua em
e
, para todo
, então
é contínua em
.
Seja
uma função. Diz-se que
é uma função convexa no intervalo
se
, ou seja, o gráfico de
no intervalo
está abaixo do segmento de reta que liga os pontos
e
. Se
é derivável, mostre que são equivalentes:
é convexa;