Seja f: [a, b] -> R uma função duas vezes derivável, com f''(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Mostre que f é convexa.

Passo 1

Vamos analisar o exercício que você me enviou. Temos uma função que é duas vezes derivável e sua segunda derivada é maior ou igual a zero para todo em . O objetivo é mostrar que é uma função convexa. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função convexa e como a segunda derivada está relacionada a essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser convexa. Uma função é dita convexa em um intervalo se, para quaisquer dois pontos e no intervalo e para qualquer entre 0 e 1, a seguinte condição é satisfeita:
Isso basicamente diz que a linha que liga dois pontos na gráfica da função está sempre acima ou na própria gráfica.

Passo 3

Agora, vamos relacionar isso com a segunda derivada. A segunda derivada de uma função nos dá informações sobre a concavidade ou convexidade da função. Se para todo no intervalo, isso indica que a função é convexa naquele intervalo. Isso ocorre porque uma segunda derivada não negativa significa que a taxa de variação da inclinação da função está aumentando, o que caracteriza uma curva “para cima”, típica das funções convexas.

Passo 4

Vamos formalizar isso. Sabemos que se , então é uma função não decrescente. Isso implica que para quaisquer em , temos:
Isso mostra que a inclinação da linha secante entre e é maior ou igual à inclinação da tangente em , reforçando a ideia de que a função está “afundando” nesse intervalo, característica das funções convexas.

Passo 5

Portanto, combinando essas observações, concluímos que se uma função é duas vezes derivável e sua segunda derivada é não negativa em todo o intervalo considerado, então a função é convexa nesse intervalo.

Resposta

A função é convexa no intervalo .

Exercícios relacionados

Seja f: R -> R tal que
|f(x) - f(y)| <= |x - y|^2
para todo x, y em R. Prove que f é constante.
Encuentra en cada caso la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
y' - y/(2 x) = (x^2/2) y^(-1) con y(1) = 0
Prove que se f é contínua em x_0 e f(x) ≥ 0, para todo x em R, então h(x) = raiz(f(x)) é contínua em x_0.
Seja f: [a, b] -> R uma função. Diz-se que f é uma função convexa no intervalo [a, b] se x in [a, b] => f(x) <= f(a) + (f(b) - f(a)) / (b - a) * (x - a), ou seja, o gráfico de f no intervalo [a, b] está abaixo do segmento de reta que liga os pontos (a, f(a)) e (b, f(b)). Se f é derivável, mostre que são equivalentes:
f: [a, b] -> R é convexa;