Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:
y' = y^2

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial que diz que a derivada de y em relação a x, que é , é igual a . O conteúdo que a gente vai usar aqui é de equações diferenciais separáveis, que são aquelas onde a gente consegue separar as variáveis y e x em lados diferentes da equação para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e . A equação dada é:
Vamos colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro:

Passo 3

Agora, a gente integra ambos os lados para encontrar em termos de . A integral de em relação a é:
E a integral de em relação a é:
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Podemos chamar de outra constante, digamos , então:
Finalmente, invertendo ambos os lados para isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

(PUC-RJ) Uma bola é lançada de uma torre, para baixo. A bola não é deixada cair mas, sim, lançada com uma certa velocidade inicial para baixo. Sua aceleração para baixo é ( g refere-se à aceleração da gravidade):
a) exatamente igual ag
b) maior do que g
c) menor do que g
d) inicialmente, maior do que g , mas rapidamente estabilizando em g
e) inicialmente, menor do que g, mas rapidamente estabilizando em g
Averigüe si son soluciones de las ecuaciones diferenciales que dan, las funciones que si indican:
x''(t) + w^2 x(t) = 0 ; x(t) = C1 cos(w t) + C2 sen(w t)
(FUC-MT) Um corpo é lançado verticalmente para cima com uma velocidade inicial de v0 = 30 m/s. Sendo g = 10 m/s^2 e desprezando a resistência do ar qual será a velocidade do corpo 2,0 s após o lançamento?
a) 20 m/s
b) 10 m/s
c) 30 m / s
d) 40 m/s
e) 50 m/s
Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:
x . L(x) - y * y' = 0