Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial que diz que a derivada de y em relação a x, que é
, é igual a
. O conteúdo que a gente vai usar aqui é de equações diferenciais separáveis, que são aquelas onde a gente consegue separar as variáveis y e x em lados diferentes da equação para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. A equação dada é:
Vamos colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Passo 3
Agora, a gente integra ambos os lados para encontrar
em termos de
. A integral de
em relação a
é:
E a integral de
em relação a
é:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Podemos chamar
de outra constante, digamos
, então:
Finalmente, invertendo ambos os lados para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.