Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial que diz que a derivada de y em relação a x, que é
, é igual a
. O conteúdo que a gente vai usar aqui é de equações diferenciais separáveis, que são aquelas onde a gente consegue separar as variáveis y e x em lados diferentes da equação para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. A equação dada é:
Vamos colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Passo 3
Agora, a gente integra ambos os lados para encontrar
em termos de
. A integral de
em relação a
é:
E a integral de
em relação a
é:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Podemos chamar
de outra constante, digamos
, então:
Finalmente, invertendo ambos os lados para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
(PUC-RJ) Uma bola é lançada de uma torre, para baixo. A bola não é deixada cair mas, sim, lançada com uma certa velocidade inicial para baixo. Sua aceleração para baixo é ( g refere-se à aceleração da gravidade):
a) exatamente igual ag
b) maior do que
c) menor do que g
d) inicialmente, maior do que g , mas rapidamente estabilizando em g
e) inicialmente, menor do que , mas rapidamente estabilizando em g
a) exatamente igual ag
b) maior do que
c) menor do que g
d) inicialmente, maior do que g , mas rapidamente estabilizando em g
e) inicialmente, menor do que
Averigüe si son soluciones de las ecuaciones diferenciales que dan, las funciones que si indican:
(FUC-MT) Um corpo é lançado verticalmente para cima com uma velocidade inicial de
. Sendo
e desprezando
resistência do ar qual será a velocidade do corpo 2,0 s após o lançamento?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales: