(Enem 2020 - adaptado) O governador de um estado propōe a ampliação de investimentos em segurança no transporte realizado por meio de trens. Um estudo para um projeto de lei prevê que se tenha a presença de duas agentes mulheres, distribuídas entre os 5 vagōes de uma composição, de forma que duas dessas agentes na̋o estejam em vagőes adjacentes, garantindo assim maior segurança aos usuários. A expressão que representa a quantidade de maneiras distintas das duas agentes serem distribuidas nos vagōes é
a) C(4, 2) * 2!
b) C(4,2)
c) C(5, 2*2!)
d) C(6,1) * 21
e) C(6,1)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos 5 vagões e precisamos distribuir 2 agentes mulheres entre eles de forma que elas não fiquem em vagões adjacentes. Isso é uma questão de combinação na matemática, onde vamos calcular de quantas maneiras diferentes podemos fazer essa distribuição respeitando a regra.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o total de maneiras de distribuir as 2 agentes nos 5 vagões sem nenhuma restrição. Para isso, usamos a combinação, que nos diz de quantas maneiras podemos escolher 2 vagões entre os 5 disponíveis. A fórmula da combinação é:
Mas como as agentes são distintas, precisamos considerar as permutações delas nas posições escolhidas. Então, multiplicamos por (2 fatorial):
Então, sem restrição, temos 20 maneiras de distribuir as 2 agentes nos 5 vagões.

Passo 3

Agora, vamos calcular quantas dessas maneiras colocam as agentes em vagões adjacentes, o que queremos evitar.
Em 5 vagões, existem 4 pares de vagões adjacentes:
  • Vagão 1 e 2
  • Vagão 2 e 3
  • Vagão 3 e 4
  • Vagão 4 e 5
Em cada par, as 2 agentes podem se arranjar de 2 maneiras diferentes (Agente A no primeiro e Agente B no segundo, ou vice-versa). Então, o total de arranjos indesejados é:

Passo 4

Para encontrar o número de maneiras válidas (onde as agentes não estão em vagões adjacentes), subtraímos as maneiras indesejadas do total sem restrição:
á

Resposta

A quantidade de maneiras distintas de distribuir as duas agentes nos vagões, sem que fiquem adjacentes, é 12. A expressão que representa isso é:
a)

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