(Enem 2020 - adaptado) O governador de um estado propōe a ampliação de investimentos em segurança no transporte realizado por meio de trens. Um estudo para um projeto de lei prevê que se tenha a presença de duas agentes mulheres, distribuídas entre os 5 vagōes de uma composição, de forma que duas dessas agentes na̋o estejam em vagőes adjacentes, garantindo assim maior segurança aos usuários. A expressão que representa a quantidade de maneiras distintas das duas agentes serem distribuidas nos vagōes é
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos 5 vagões e precisamos distribuir 2 agentes mulheres entre eles de forma que elas não fiquem em vagões adjacentes. Isso é uma questão de combinação na matemática, onde vamos calcular de quantas maneiras diferentes podemos fazer essa distribuição respeitando a regra.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o total de maneiras de distribuir as 2 agentes nos 5 vagões sem nenhuma restrição. Para isso, usamos a combinação, que nos diz de quantas maneiras podemos escolher 2 vagões entre os 5 disponíveis. A fórmula da combinação é:
Mas como as agentes são distintas, precisamos considerar as permutações delas nas posições escolhidas. Então, multiplicamos por
(2 fatorial):
Então, sem restrição, temos 20 maneiras de distribuir as 2 agentes nos 5 vagões.
Passo 3
Agora, vamos calcular quantas dessas maneiras colocam as agentes em vagões adjacentes, o que queremos evitar.
Em 5 vagões, existem 4 pares de vagões adjacentes:
- Vagão 1 e 2
- Vagão 2 e 3
- Vagão 3 e 4
- Vagão 4 e 5
Em cada par, as 2 agentes podem se arranjar de 2 maneiras diferentes (Agente A no primeiro e Agente B no segundo, ou vice-versa). Então, o total de arranjos indesejados é:
Passo 4
Para encontrar o número de maneiras válidas (onde as agentes não estão em vagões adjacentes), subtraímos as maneiras indesejadas do total sem restrição:
Resposta
A quantidade de maneiras distintas de distribuir as duas agentes nos vagões, sem que fiquem adjacentes, é 12. A expressão que representa isso é:
a)