(Enem 2020 - adaptado) Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram em um condomínio fechado de uma cidade. O quadriculado representa a localização das ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho nesse condomínio, em que nos pontos A, B e C estão localizadas as casas de André, Bernardo e Carlos, respectivamente. André deseja deslocar-se da sua casa até a casa de Bernardo, passando ou não pela casa do Carlos, seguindo ao longo das ruas do condomínio, fazendo sempre deslocamentos para a direita ( p = m . g . h ) . ou para cima ( ), segundo o esquema da figura.
O número de diferentes caminhos que André poderá utilizar para realizar o deslocamento nas condições propostas é
a) 18
c) 4! * 3 !
d) 34
e) 35

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três amigos: André, Bernardo e Carlos, que moram em um condomínio com ruas formando uma grade, tipo um mapa com ruas paralelas e perpendiculares. As casas de André, Bernardo e Carlos estão nos pontos A, B e C desse mapa. O objetivo é descobrir quantos caminhos diferentes André pode fazer para ir da casa dele (A) até a casa do Bernardo (B), movendo-se apenas para a direita (→) ou para cima (↑) nas ruas, e ele pode passar ou não pela casa do Carlos ©.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Análise Combinatória, especificamente cálculo de caminhos em uma grade. Precisaremos entender como contar as diferentes combinações de movimentos para chegar de A a B.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o problema. Imagine a grade do condomínio como um gráfico onde cada interseção das ruas é um ponto que podemos chegar. André está em A e quer ir para B, movendo-se apenas para a direita ou para cima.
Vamos supor que A está na posição (0,0) e B está na posição (m,n), ou seja, André precisa se mover m blocos para a direita e n blocos para cima para chegar em B. Cada caminho de A a B será uma sequência de movimentos para a direita e para cima.

Passo 3

Para contar o número de caminhos, usamos a fórmula de combinações. O número total de movimentos que André precisa fazer é m + n (m para a direita e n para cima). O número de maneiras de organizar esses movimentos é dado por:
ú
Isso porque estamos escolhendo m movimentos de direita entre os m + n movimentos totais.

Passo 4

No entanto, a questão menciona que André pode ou não passar pela casa do Carlos ©. Isso significa que temos duas situações:
  1. Caminhos que passam por C: Primeiro, André vai de A a C e depois de C a B.
  2. Caminhos que não passam por C: André vai diretamente de A a B sem passar por C.
Devemos calcular o número total de caminhos em ambas as situações.

Passo 5

Vamos supor que a posição de C seja (p,q). Primeiro, calculamos os caminhos de A a C:
Em seguida, calculamos os caminhos de C a B. Se B está em (m,n), então de C a B, André precisa se mover (m - p) vezes para a direita e (n - q) vezes para cima:
Multiplicando esses dois resultados, obtemos os caminhos que passam por C.

Passo 6

Agora, somamos os caminhos que passam por C com os caminhos que não passam por C. O total de caminhos sem restrição é:
Então, os caminhos que não passam por C são:
ã

Passo 7

Finalmente, somamos os caminhos que passam por C com os caminhos que não passam por C para obter o número total de caminhos possíveis para André ir de A a B:
úã

Resposta

A quantidade total de diferentes caminhos que André pode utilizar para ir da casa dele até a casa de Bernardo, podendo ou não passar pela casa de Carlos, é 35.

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