(Enem 2020 - adaptado) Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram em um condomínio fechado de uma cidade. O quadriculado representa a localização das ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho nesse condomínio, em que nos pontos e C estão localizadas as casas de André, Bernardo e Carlos, respectivamente. André deseja deslocar-se da sua casa até a casa de Bernardo, passando ou não pela casa do Carlos, seguindo ao longo das ruas do condomínio, fazendo sempre deslocamentos para a direita ( ) . ou para cima ( ), segundo o esquema da figura.
O número de diferentes caminhos que André poderá utilizar para realizar o deslocamento nas condições propostas é
a) 18
c) !
d) 34
e) 35

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três amigos: André, Bernardo e Carlos, que moram em um condomínio com ruas formando uma grade, tipo um mapa com ruas paralelas e perpendiculares. As casas de André, Bernardo e Carlos estão nos pontos A, B e C desse mapa. O objetivo é descobrir quantos caminhos diferentes André pode fazer para ir da casa dele (A) até a casa do Bernardo (B), movendo-se apenas para a direita (→) ou para cima (↑) nas ruas, e ele pode passar ou não pela casa do Carlos ©.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Análise Combinatória, especificamente cálculo de caminhos em uma grade. Precisaremos entender como contar as diferentes combinações de movimentos para chegar de A a B.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o problema. Imagine a grade do condomínio como um gráfico onde cada interseção das ruas é um ponto que podemos chegar. André está em A e quer ir para B, movendo-se apenas para a direita ou para cima.
Vamos supor que A está na posição (0,0) e B está na posição (m,n), ou seja, André precisa se mover m blocos para a direita e n blocos para cima para chegar em B. Cada caminho de A a B será uma sequência de movimentos para a direita e para cima.

Passo 3

Para contar o número de caminhos, usamos a fórmula de combinações. O número total de movimentos que André precisa fazer é m + n (m para a direita e n para cima). O número de maneiras de organizar esses movimentos é dado por:
ú
Isso porque estamos escolhendo m movimentos de direita entre os m + n movimentos totais.

Passo 4

No entanto, a questão menciona que André pode ou não passar pela casa do Carlos ©. Isso significa que temos duas situações:
  1. Caminhos que passam por C: Primeiro, André vai de A a C e depois de C a B.
  2. Caminhos que não passam por C: André vai diretamente de A a B sem passar por C.
Devemos calcular o número total de caminhos em ambas as situações.

Passo 5

Vamos supor que a posição de C seja (p,q). Primeiro, calculamos os caminhos de A a C:
Em seguida, calculamos os caminhos de C a B. Se B está em (m,n), então de C a B, André precisa se mover (m - p) vezes para a direita e (n - q) vezes para cima:
Multiplicando esses dois resultados, obtemos os caminhos que passam por C.

Passo 6

Agora, somamos os caminhos que passam por C com os caminhos que não passam por C. O total de caminhos sem restrição é:
Então, os caminhos que não passam por C são:
ã

Passo 7

Finalmente, somamos os caminhos que passam por C com os caminhos que não passam por C para obter o número total de caminhos possíveis para André ir de A a B:
úã

Resposta

A quantidade total de diferentes caminhos que André pode utilizar para ir da casa dele até a casa de Bernardo, podendo ou não passar pela casa de Carlos, é 35.

Exercícios relacionados

Um míssel é lançado verticalmente para cima de um ponto que está a 8 km de uma estação de rastreamento, e à mesma altura desta. Durante os primeiros 20 segundo de vôo, seu ângulo de elevação varia à razão constante de 2 graus por segundo. Determine a velocidade do míssel quando o ângulo de elevação for 30 graus. RESPOSTA:
Um meliante foge sobre uma muralha reta a uma velocidade de . Um holofote localizado a 20 metros de distância da muralha, e mesma altura que esta, focaliza o homem em fuga. A que taxa o holofote está girando quando o gatuno se encontra a 15 metros do ponto da muralha que está mais próximo do holofote? RESPOSTA:
(Enem 2017 - adaptado) Na tentativa de inovar em termos de esportes, os estudantes da turma AGRO B - 2024 resolveram fazer um torneio de ordenhamento de vacas. Decidiram que cada esportista disputaria uma única vez com. cada um dos demais atletas. O campeão será aquele que conseguir a maior quantidade de leite num tempo programado. Observaram que para o melhor manejo e saúde dos animais, cada vaca participaria de uma única disputa. Sabendo que há 36 vacas em condições de ordenhamento, quanto estudantes poderiam se candidatar para o torneio?
a)
b)
c) 18
d)
e) 6
Boa prova!
(Enem 2020 - adaptado) O governador de um estado propōe a ampliação de investimentos em segurança no transporte realizado por meio de trens. Um estudo para um projeto de lei prevê que se tenha a presença de duas agentes mulheres, distribuídas entre os 5 vagōes de uma composição, de forma que duas dessas agentes na̋o estejam em vagőes adjacentes, garantindo assim maior segurança aos usuários. A expressão que representa a quantidade de maneiras distintas das duas agentes serem distribuidas nos vagōes é
a)
b)
c)
d)
e)