(Teste T 1 - 2020.2) Seja
definida por:
É correto afirmar que:
a)
é bijetora e
.
b)
é sobrejetora, mas não é injetora.
c)
é bijetora e
.
d)
é bijetora e
.
e)
é injetora, mas não é sobrejetora.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função definida por partes e precisamos analisar suas propriedades para escolher a alternativa correta. O conteúdo aqui envolve funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras, além de composição de funções e funções inversas. Vamos precisar entender como a função se comporta em cada parte do domínio para resolver o exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
:
Essa função é dividida em duas partes:
- Para
: é uma função linear . - Para
: é uma função quadrática .
Passo 3
Vamos verificar se
é injetora (cada valor de
tem um valor único de
):
- Parte linear (
): Funções lineares são sempre injetoras, pois não têm repetições de valores. - Parte quadrática (
): Precisamos ver se é crescente ou decrescente. A derivada de é , que é positiva para . Então, essa parte é estritamente crescente e, portanto, também injetora.
Agora, precisamos garantir que não há sobreposição entre as duas partes que possa quebrar a injetividade. Vamos ver se existe algum
e
que dão o mesmo valor
:
Ambos os valores
e
estão na parte
. Não há sobreposição com
. Portanto,
é injetora em todo o domínio.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é sobrejetora (todo número real possui um antecedente):
- Para
: . Conforme vai para , também vai para . Em , . - Para
: . Essa função, por ser quadrática com coeficiente positivo, vai de (em ) para conforme aumenta.
Juntando as duas partes,
cobre todos os valores reais, pois vai de
a
sem lacunas. Então,
é sobrejetora.
Passo 5
Como
é injetora e sobrejetora, concluímos que
é bijetora.
Passo 6
Agora, precisamos calcular
e comparar com
para ver qual alternativa está correta.
Primeiro, vamos calcular
:
Agora, calculamos
porque
:
Então,
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar
, ou seja, o valor de
que satisfaz
:
-
Para
: Mas, então não está na região . -
Para
: Resolvendo a equação quadrática:As soluções são:Apenasé válida.
Então,
.
Resposta
A alternativa correta é a d):
é bijetora e
.