(Teste T 1 - 2020.2) Seja f: R -> R definida por:
f(x) = { 3x + 3, x <= 0; x^2 + 4x + 3, x > 0 }
É correto afirmar que:
a) f é bijetora e (f o f)(-2/3)=f^(-1)(3).
b) f é sobrejetora, mas não é injetora.
c) f é bijetora e (f o f)(-2/3) = f^{-1}(21).
d) f é bijetora e (f o f)(-2/3) = f^(-1)(99).
e) f é injetora, mas não é sobrejetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função definida por partes e precisamos analisar suas propriedades para escolher a alternativa correta. O conteúdo aqui envolve funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras, além de composição de funções e funções inversas. Vamos precisar entender como a função se comporta em cada parte do domínio para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função :
Essa função é dividida em duas partes:
  • Para : é uma função linear .
  • Para : é uma função quadrática .

Passo 3

Vamos verificar se é injetora (cada valor de tem um valor único de ):
  • Parte linear ( ): Funções lineares são sempre injetoras, pois não têm repetições de valores.
  • Parte quadrática ( ): Precisamos ver se é crescente ou decrescente. A derivada de é , que é positiva para . Então, essa parte é estritamente crescente e, portanto, também injetora.
Agora, precisamos garantir que não há sobreposição entre as duas partes que possa quebrar a injetividade. Vamos ver se existe algum e que dão o mesmo valor :
Ambos os valores e estão na parte . Não há sobreposição com . Portanto, é injetora em todo o domínio.

Passo 4

Agora, vamos verificar se é sobrejetora (todo número real possui um antecedente):
  • Para : . Conforme vai para , também vai para . Em , .
  • Para : . Essa função, por ser quadrática com coeficiente positivo, vai de (em ) para conforme aumenta.
Juntando as duas partes, cobre todos os valores reais, pois vai de a sem lacunas. Então, é sobrejetora.

Passo 5

Como é injetora e sobrejetora, concluímos que é bijetora.

Passo 6

Agora, precisamos calcular e comparar com para ver qual alternativa está correta.
Primeiro, vamos calcular :
Agora, calculamos porque :
Então, .

Passo 7

Agora, vamos encontrar , ou seja, o valor de que satisfaz :
  • Para :
    Mas , então não está na região .
  • Para :
    Resolvendo a equação quadrática:
    As soluções são:
    Apenas é válida.
Então, .

Resposta

A alternativa correta é a d): é bijetora e .

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