Para uma energia específica constante de 2 m, qual a vazão máxima que poderia ocorrer em um canal retangular de 3 m de largura?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma energia específica constante de 2 metros em um canal retangular que tem 3 metros de largura. O conteúdo aqui é de Hidráulica de Canais Abertos, especificamente sobre energia específica e vazão. Para resolver, vamos precisar entender como a energia específica se relaciona com a vazão em um canal retangular e usar algumas fórmulas básicas da área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é energia específica. A energia específica E = y + Q^22gB^2 em um canal aberto é a soma da profundidade da água mais a energia cinética, que depende da vazão e da largura do canal . A fórmula para energia específica é:
onde:
  • é a energia específica,
  • é a profundidade da água,
  • é a vazão,
  • é a aceleração da gravidade (aproximadamente ),
  • é a largura do canal.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar a vazão máxima y = E - Q^22gB^2 que pode ocorrer nesse canal quando a energia específica é de 2 metros. Para isso, precisamos relacionar a profundidade com a vazão .
Primeiro, isolamos na fórmula da energia específica:

Passo 4

Para encontrar a vazão máxima, devemos perceber que há um ponto onde a energia específica atinge um máximo em relação à vazão. Isso acontece no escoamento crítico, onde a profundidade é tal que a energia por unidade de largura é mínima. Neste ponto, a vazão é máxima para a energia específica dada.
Para encontrar dEdQ = 0 , derivamos a expressão de dEdQ = -QgB^2 = 0 em relação a -QgB^2 = 0 implies Q = 0 e igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto máximo.
Diferenciando a expressão de :
Resolvendo para :
Isso nos mostra que a derivada nos dá um ponto mínimo. Para encontrar o ponto máximo, usamos outra abordagem.

Passo 5

Vamos usar a condição de escoamento crítico. A condição crítica para o escoamento em um canal retangular é dada por:
yc = B2
onde yc = 32 = 1,5 , m é a profundidade crítica.
Substituindo :

Passo 6

Agora, substituímos E = yc + Qmax^22gB^2 na fórmula da energia específica para encontrar 2 = 1,5 + Qmax^22 times 9,81 times 3^2 :
Substituindo e :

Passo 7

Vamos isolar 2 - 1,5 = Qmax^22 times 9,81 times 9 :
0,5 = Qmax^2176,58
Qmax^2 = 0,5 times 176,58 = 88,29
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar Qmax = raiz88,29 approx 9,4 , m^3/s :

Resposta

A vazão máxima que poderia ocorrer no canal é aproximadamente ³.

Exercícios relacionados