Para uma energia específica constante de 2 m, qual a vazão máxima que poderia ocorrer em um canal retangular de 3 m de largura?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma energia específica constante de 2 metros em um canal retangular que tem 3 metros de largura. O conteúdo aqui é de Hidráulica de Canais Abertos, especificamente sobre energia específica e vazão. Para resolver, vamos precisar entender como a energia específica se relaciona com a vazão em um canal retangular e usar algumas fórmulas básicas da área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é energia específica. A energia específica
em um canal aberto é a soma da profundidade da água
mais a energia cinética, que depende da vazão
e da largura do canal
. A fórmula para energia específica é:
onde:
-
é a energia específica, -
é a profundidade da água, -
é a vazão, -
é a aceleração da gravidade (aproximadamente ), -
é a largura do canal.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar a vazão máxima
que pode ocorrer nesse canal quando a energia específica
é de 2 metros. Para isso, precisamos relacionar a profundidade
com a vazão
.
Primeiro, isolamos
na fórmula da energia específica:
Passo 4
Para encontrar a vazão máxima, devemos perceber que há um ponto onde a energia específica atinge um máximo em relação à vazão. Isso acontece no escoamento crítico, onde a profundidade é tal que a energia por unidade de largura é mínima. Neste ponto, a vazão é máxima para a energia específica dada.
Para encontrar
, derivamos a expressão de
em relação a
e igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto máximo.
Diferenciando a expressão de
:
Resolvendo para
:
Isso nos mostra que a derivada nos dá um ponto mínimo. Para encontrar o ponto máximo, usamos outra abordagem.
Passo 5
Vamos usar a condição de escoamento crítico. A condição crítica para o escoamento em um canal retangular é dada por:
onde
é a profundidade crítica.
Substituindo
:
Passo 6
Agora, substituímos
na fórmula da energia específica para encontrar
:
Substituindo
e
:
Passo 7
Vamos isolar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar
:
Resposta
A vazão máxima que poderia ocorrer no canal é aproximadamente
.