Se a energia de Helmholtz permanece constante, estimar a pressão final de 1,0mol de um gás ideal na transformação seguinte:
(pfinal, 600 K
. Dado:
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos 1,0 mol de um gás ideal que passa por uma transformação onde a energia de Helmholtz permanece constante. Precisamos encontrar a pressão final desse gás quando a temperatura aumenta de 300 K para 600 K. Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especificamente sobre energia de Helmholtz e propriedades dos gases ideais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a energia de Helmholtz (A). Ela é definida pela fórmula:
Onde:
- $ U $ é a energia interna,
- $ T $ é a temperatura,
- $ S $ é a entropia.
Como a energia de Helmholtz permanece constante durante a transformação ($ \Delta A = 0 $), podemos escrever:
Passo 3
Para um gás ideal, a energia interna $ U $ depende apenas da temperatura e é dada por:
Onde:
- $ f $ é o número de graus de liberdade (para um gás ideal diatômico, $ f = 5 $),
- $ n $ é o número de mols,
- $ R $ é a constante dos gases ideais,
- $ T $ é a temperatura.
Como estamos lidando com 1 mol de gás, simplificamos $ n = 1 $.
Passo 4
A entropia $ S $ para um gás ideal pode ser expressa como:
Mas, para a transformação, podemos relacionar pressão e volume usando a equação de estado dos gases ideais:
Como $ n = 1 $, temos:
Passo 5
Agora, como a energia de Helmholtz permanece constante ($ \Delta A = 0 $), vamos igualar as energias nas duas condições:
Então:
Substituindo as expressões para $ U $ e $ S $:
Passo 6
Simplificando a equação:
Vamos reorganizar para isolar os termos com pressão, já que $ V = \frac{R T}{p} $:
Passo 7
Substituindo os valores conhecidos:
- $ T_1 = 300 , K $
- $ T_2 = 600 , K $
- $ p_1 = 1,0 , atm $
- $ f = 5 $ (supondo um gás diatômico)
A equação fica:
Passo 8
Resolvendo os cálculos:
Agora, reorganizamos para encontrar $ p_2 $:
Passo 9
Dividindo ambos os lados por 300:
Rearranjando:
Dividindo por 2:
Passo 10
Para remover o logaritmo, aplicamos a exponenciação dos dois lados:
Podemos simplificar $ e^{\frac{1}{2} \ln (300 R)} = \sqrt{300 R} $, então:
Passo 11
Isolando $ p_2 $:
Simplificando os números:
Então:
Passo 12
Considerando que $ R $ é a constante dos gases ideais ($ R \approx 0.0821 , atm·L/mol·K $), substituímos:
Resposta
A pressão final do gás é aproximadamente 2,84 atm.