Se a energia de Helmholtz permanece constante, estimar a pressão final de 1,0mol de um gás ideal na transformação seguinte: (1,0 atm, 300 K) (pfinal, 600 K ). Dado: S gás =R R^2: p final =4 , 0 a t má.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos 1,0 mol de um gás ideal que passa por uma transformação onde a energia de Helmholtz permanece constante. Precisamos encontrar a pressão final desse gás quando a temperatura aumenta de 300 K para 600 K. Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especificamente sobre energia de Helmholtz e propriedades dos gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a energia de Helmholtz (A). Ela é definida pela fórmula:
A = U - T S
Onde:
  • $ U $ é a energia interna,
  • $ T $ é a temperatura,
  • $ S $ é a entropia.
Como a energia de Helmholtz permanece constante durante a transformação ($ \Delta A = 0 $), podemos escrever:
U

Passo 3

Para um gás ideal, a energia interna $ U $ depende apenas da temperatura e é dada por:
U
Onde:
  • $ f $ é o número de graus de liberdade (para um gás ideal diatômico, $ f = 5 $),
  • $ n $ é o número de mols,
  • $ R $ é a constante dos gases ideais,
  • $ T $ é a temperatura.
Como estamos lidando com 1 mol de gás, simplificamos $ n = 1 $.

Passo 4

A entropia $ S $ para um gás ideal pode ser expressa como:
S
Mas, para a transformação, podemos relacionar pressão e volume usando a equação de estado dos gases ideais:
S = n R ln ( Vn ) + constante
Como $ n = 1 $, temos:
p V = n R T

Passo 5

Agora, como a energia de Helmholtz permanece constante ($ \Delta A = 0 $), vamos igualar as energias nas duas condições:
De
Então:
A1 = A2
Substituindo as expressões para $ U $ e $ S $:
U1 - T1 S1 = U2 - T2 S2

Passo 6

Simplificando a equação:
f2 T1 - T1 ln V1 = f2 T2 - T2 ln V2
Vamos reorganizar para isolar os termos com pressão, já que $ V = \frac{R T}{p} $:
V = R Tp

Passo 7

Substituindo os valores conhecidos:
  • $ T_1 = 300 , K $
  • $ T_2 = 600 , K $
  • $ p_1 = 1,0 , atm $
  • $ f = 5 $ (supondo um gás diatômico)
A equação fica:
T1 = 300 , K

Passo 8

Resolvendo os cálculos:
52 (-300) = -750 = 300 ln (300 R) - 600 ln ( 600 Rp2 )
Agora, reorganizamos para encontrar $ p_2 $:
p2

Passo 9

Dividindo ambos os lados por 300:
-2.5 = ln (300 R) - 2 ln ( 600 Rp2 )
Rearranjando:
2 ln ( 600 Rp2 ) = ln (300 R) + 2.5
Dividindo por 2:
ln ( 600 Rp2 ) = 12 ln (300 R) + 1.25

Passo 10

Para remover o logaritmo, aplicamos a exponenciação dos dois lados:
600 Rp2 = e^12 ln (300 R) + 1.25
Podemos simplificar $ e^{\frac{1}{2} \ln (300 R)} = \sqrt{300 R} $, então:
e^12 ln (300 R) = raiz300 R

Passo 11

Isolando $ p_2 $:
p2
Simplificando os números:
p2 = 600 Rraiz300 R times e^1.25 = 600raiz300 times raizRe^1.25
Então:
raiz300 approx 17.32 e^1.25 approx 3.49

Passo 12

Considerando que $ R $ é a constante dos gases ideais ($ R \approx 0.0821 , atm·L/mol·K $), substituímos:
R

Resposta

A pressão final do gás é aproximadamente 2,84 atm.

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