A energia potencial de um corpo de massa 50 g , restrito ao eixo
, é dada por
, onde
está em joules e
está em metros. sendo a energia mecânica do sistema igual a
, determine os pontos de retorno da partícula quando ela encontra-se na região próxima ao ponto de equilibrio estável e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula com massa de 50 g que se movimenta ao longo do eixo
. A energia potencial dessa partícula é dada por
joules. Sabemos também que a energia mecânica total do sistema é
J. Nosso objetivo é encontrar os pontos de retorno dessa partícula quando ela está perto do ponto de equilíbrio estável. Para isso, vamos precisar entender sobre energia potencial, energia mecânica e pontos de equilíbrio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica (
) de um sistema é a soma da energia potencial (
) e da energia cinética (
):
Como a energia mecânica é constante e igual a
J, podemos escrever:
Passo 3
Nos pontos de retorno, a partícula muda de direção. Isso acontece quando a velocidade dela é zero, ou seja, quando a energia cinética (
) é zero. Então, nesses pontos:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação
para encontrar os valores de
que representam os pontos de retorno. Vamos rearranjar a equação:
Passo 5
Para resolver essa equação cúbica, podemos tentar encontrar raízes reais. Vamos tentar substituir alguns valores de
para ver se encontramos soluções:
- Para
:
Não é igual a zero. Vamos tentar
:
Ainda não zero. Vamos usar métodos numéricos ou gráficos para encontrar uma aproximação.
Passo 6
Usando métodos de interpolação ou uma calculadora gráfica, encontramos as raízes aproximadas da equação
. As soluções são aproximadamente:
Resposta
Os pontos de retorno da partícula são aproximadamente
metros e
metros.
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