A energia potencial de um corpo de massa 50 g , restrito ao eixo x, é dada por U(x)= 3 x^2-2 x^3, onde U está em joules e x está em metros. sendo a energia mecânica do sistema igual a 0,8 J, determine os pontos de retorno da partícula quando ela encontra-se na região próxima ao ponto de equilibrio estável e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula com massa de 50 g que se movimenta ao longo do eixo . A energia potencial dessa partícula é dada por joules. Sabemos também que a energia mecânica total do sistema é J. Nosso objetivo é encontrar os pontos de retorno dessa partícula quando ela está perto do ponto de equilíbrio estável. Para isso, vamos precisar entender sobre energia potencial, energia mecânica e pontos de equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica ( E = U + K ) de um sistema é a soma da energia potencial ( 0,8 = 3x^2 - 2x^3 + K ) e da energia cinética ( ):
Como a energia mecânica é constante e igual a J, podemos escrever:

Passo 3

Nos pontos de retorno, a partícula muda de direção. Isso acontece quando a velocidade dela é zero, ou seja, quando a energia cinética ( 0,8 = 3x^2 - 2x^3 ) é zero. Então, nesses pontos:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação 2x^3 - 3x^2 + 0,8 = 0 para encontrar os valores de que representam os pontos de retorno. Vamos rearranjar a equação:

Passo 5

Para resolver essa equação cúbica, podemos tentar encontrar raízes reais. Vamos tentar substituir alguns valores de 2(0,5)^3 - 3(0,5)^2 + 0,8 = 2(0,125) - 3(0,25) + 0,8 = 0,25 - 0,75 + 0,8 = 0,3 para ver se encontramos soluções:
  • Para 2(1)^3 - 3(1)^2 + 0,8 = 2 - 3 + 0,8 = -0,2 :
Não é igual a zero. Vamos tentar :
Ainda não zero. Vamos usar métodos numéricos ou gráficos para encontrar uma aproximação.

Passo 6

Usando métodos de interpolação ou uma calculadora gráfica, encontramos as raízes aproximadas da equação x approx 0,4 , m e x approx 1,0 , m . As soluções são aproximadamente:

Resposta

Os pontos de retorno da partícula são aproximadamente metros e metros.

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