A energia potencial de um corpo de massa 50 g , restrito ao eixo , é dada por , onde está em joules e está em metros. sendo a energia mecânica do sistema igual a , determine os pontos de retorno da partícula quando ela encontra-se na região próxima ao ponto de equilibrio estável e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula com massa de 50 g que se movimenta ao longo do eixo . A energia potencial dessa partícula é dada por joules. Sabemos também que a energia mecânica total do sistema é J. Nosso objetivo é encontrar os pontos de retorno dessa partícula quando ela está perto do ponto de equilíbrio estável. Para isso, vamos precisar entender sobre energia potencial, energia mecânica e pontos de equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica ( ) de um sistema é a soma da energia potencial ( ) e da energia cinética ( ):
Como a energia mecânica é constante e igual a J, podemos escrever:

Passo 3

Nos pontos de retorno, a partícula muda de direção. Isso acontece quando a velocidade dela é zero, ou seja, quando a energia cinética ( ) é zero. Então, nesses pontos:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação para encontrar os valores de que representam os pontos de retorno. Vamos rearranjar a equação:

Passo 5

Para resolver essa equação cúbica, podemos tentar encontrar raízes reais. Vamos tentar substituir alguns valores de para ver se encontramos soluções:
  • Para :
Não é igual a zero. Vamos tentar :
Ainda não zero. Vamos usar métodos numéricos ou gráficos para encontrar uma aproximação.

Passo 6

Usando métodos de interpolação ou uma calculadora gráfica, encontramos as raízes aproximadas da equação . As soluções são aproximadamente:

Resposta

Os pontos de retorno da partícula são aproximadamente metros e metros.

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