Sejam m e n inteiros nhio negativos e dietintos. Use as Formulas (16) a (18) para provar:
(a) integral0^2 pi sen m x cos n x d x=0 (b) integral0^2 pi cos m x cos n x d x=0 © integral0^2 x sen m x sen n x d x=0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois números inteiros, e , que são não negativos e diferentes entre si. A gente precisa provar que as seguintes integrais são iguais a zero:
(a)
(b)
©
Para resolver isso, vamos usar as fórmulas trigonométricas de multiplicação de senos e cossenos, que são provavelmente as fórmulas (16) a (18) mencionadas no enunciado. Essas fórmulas nos ajudam a transformar o produto de funções trigonométricas em somas, facilitando a integração.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): .
A fórmula de multiplicação de seno e cosseno é:
Aplicando essa fórmula ao nosso caso, temos:

Passo 3

Agora, integramos ambos os lados de 0 a integral0^2 pi sen(m x) cos(n x) , dx = 12 [ integral0^2 pi sen((m + n)x) , dx + integral0^2 pi sen((m - n)x) , dx ] :
Sabemos que a integral de seno de qualquer múltiplo inteiro de integral0^2 pi sen(k x) , dx = 0 para qualquer inteiro k ao longo de um período completo é zero, ou seja:

Passo 4

Aplicando isso às integrais que encontramos:
12 [ 0 + 0 ] = 0
Portanto,

Passo 5

Vamos para a parte (b): cos(A) cos(B) = 12 [cos(A + B) + cos(A - B)] .
A fórmula de multiplicação de cossenos é:
cos(m x) cos(n x) = 12 [cos((m + n)x) + cos((m - n)x)]
Aplicando essa fórmula ao nosso caso:

Passo 6

Integrando ambos os lados de 0 a integral0^2 pi cos(m x) cos(n x) , dx = 12 [ integral0^2 pi cos((m + n)x) , dx + integral0^2 pi cos((m - n)x) , dx ] :
integral0^2 pi cos(k x) , dx = 0 para qualquer inteiro k neq 0
Sabemos que a integral de cosseno de qualquer múltiplo inteiro de ao longo de um período completo é zero, ou seja:
Como e são diferentes, e não são zero.

Passo 7

Portanto,
12 [ 0 + 0 ] = 0
Logo,
integral0^2 pi cos(m x) cos(n x) , dx = 0

Passo 8

Finalmente, vamos para a parte ©: .
A fórmula de multiplicação de senos é:
Aplicando ao nosso caso:

Passo 9

Integrando ambos os lados de 0 a integral0^2 pi sen(m x) sen(n x) , dx = 12 [ integral0^2 pi cos((m - n)x) , dx - integral0^2 pi cos((m + n)x) , dx ] :
Como integral0^2 pi cos(k x) , dx = 0 para qualquer inteiro k neq 0 e são diferentes, e não são zero. Sabemos que:

Passo 10

Portanto,
12 [ 0 - 0 ] = 0
Assim,

Resposta

Todas as integrais (a), (b) e © são iguais a zero.

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