Sejam
e
inteiros nhio negativos e dietintos. Use as Formulas (16) a (18) para provar:
(a)
(b)
©
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois números inteiros,
e
, que são não negativos e diferentes entre si. A gente precisa provar que as seguintes integrais são iguais a zero:
(a)
(b)
©
Para resolver isso, vamos usar as fórmulas trigonométricas de multiplicação de senos e cossenos, que são provavelmente as fórmulas (16) a (18) mencionadas no enunciado. Essas fórmulas nos ajudam a transformar o produto de funções trigonométricas em somas, facilitando a integração.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): .
A fórmula de multiplicação de seno e cosseno é:
Aplicando essa fórmula ao nosso caso, temos:
Passo 3
Agora, integramos ambos os lados de 0 a
:
Sabemos que a integral de seno de qualquer múltiplo inteiro de
ao longo de um período completo
é zero, ou seja:
Passo 4
Aplicando isso às integrais que encontramos:
Portanto,
Passo 5
Vamos para a parte (b):
.
A fórmula de multiplicação de cossenos é:
Aplicando essa fórmula ao nosso caso:
Passo 6
Integrando ambos os lados de 0 a
:
Sabemos que a integral de cosseno de qualquer múltiplo inteiro de
ao longo de um período completo
é zero, ou seja:
Como
e
são diferentes,
e
não são zero.
Passo 7
Portanto,
Logo,
Passo 8
Finalmente, vamos para a parte ©: .
A fórmula de multiplicação de senos é:
Aplicando ao nosso caso:
Passo 9
Integrando ambos os lados de 0 a
:
Como
e
são diferentes,
e
não são zero. Sabemos que:
Passo 10
Portanto,
Assim,
Resposta
Todas as integrais (a), (b) e © são iguais a zero.