Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois números inteiros, e , que são não negativos e diferentes entre si. A gente precisa provar que as seguintes integrais são iguais a zero:
Para resolver isso, vamos usar as fórmulas trigonométricas de multiplicação de senos e cossenos, que são provavelmente as fórmulas (16) a (18) mencionadas no enunciado. Essas fórmulas nos ajudam a transformar o produto de funções trigonométricas em somas, facilitando a integração.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): .
A fórmula de multiplicação de seno e cosseno é:
Aplicando essa fórmula ao nosso caso, temos:
Passo 3
Agora, integramos ambos os lados de 0 a :
Sabemos que a integral de seno de qualquer múltiplo inteiro de ao longo de um período completo é zero, ou seja:
Passo 4
Aplicando isso às integrais que encontramos:
Portanto,
Passo 5
Vamos para a parte (b): .
A fórmula de multiplicação de cossenos é:
Aplicando essa fórmula ao nosso caso:
Passo 6
Integrando ambos os lados de 0 a :
Sabemos que a integral de cosseno de qualquer múltiplo inteiro de ao longo de um período completo é zero, ou seja: