Sejam e inteiros nhio negativos e dietintos. Use as Formulas (16) a (18) para provar:
(a) (b) © .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois números inteiros, e , que são não negativos e diferentes entre si. A gente precisa provar que as seguintes integrais são iguais a zero:
(a)
(b)
©
Para resolver isso, vamos usar as fórmulas trigonométricas de multiplicação de senos e cossenos, que são provavelmente as fórmulas (16) a (18) mencionadas no enunciado. Essas fórmulas nos ajudam a transformar o produto de funções trigonométricas em somas, facilitando a integração.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): .
A fórmula de multiplicação de seno e cosseno é:
Aplicando essa fórmula ao nosso caso, temos:

Passo 3

Agora, integramos ambos os lados de 0 a :
Sabemos que a integral de seno de qualquer múltiplo inteiro de ao longo de um período completo é zero, ou seja:

Passo 4

Aplicando isso às integrais que encontramos:
Portanto,

Passo 5

Vamos para a parte (b): .
A fórmula de multiplicação de cossenos é:
Aplicando essa fórmula ao nosso caso:

Passo 6

Integrando ambos os lados de 0 a :
Sabemos que a integral de cosseno de qualquer múltiplo inteiro de ao longo de um período completo é zero, ou seja:
Como e são diferentes, e não são zero.

Passo 7

Portanto,
Logo,

Passo 8

Finalmente, vamos para a parte ©: .
A fórmula de multiplicação de senos é:
Aplicando ao nosso caso:

Passo 9

Integrando ambos os lados de 0 a :
Como e são diferentes, e não são zero. Sabemos que:

Passo 10

Portanto,
Assim,

Resposta

Todas as integrais (a), (b) e © são iguais a zero.

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