Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
© a_n = (3^(1/n) - 4) / (3^((n+1)/n) - 1);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai descobrir qual é o limite dessa sequência. Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de potências. Vamos precisar entender como e se comportam conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com quando fica muito grande. Sabemos que qualquer número positivo elevado a uma potência que tende a zero fica mais próximo de 1. Então, tende a 1 quando tende ao infinito.

Passo 3

Agora, vamos olhar para . Isso dá para separar em . Já sabemos que tende a 1, então tende a .

Passo 4

Agora que sabemos os limites das partes da sequência:
  • Numerador: tende a .
  • Denominador: tende a .

Passo 5

Com isso, podemos calcular o limite da sequência :

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

Exercícios relacionados