Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai descobrir qual é o limite dessa sequência. Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de potências. Vamos precisar entender como
e
se comportam conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com
quando
fica muito grande. Sabemos que qualquer número positivo elevado a uma potência que tende a zero fica mais próximo de 1. Então,
tende a 1 quando
tende ao infinito.
Passo 3
Agora, vamos olhar para
. Isso dá para separar em
. Já sabemos que
tende a 1, então
tende a
.
Passo 4
Agora que sabemos os limites das partes da sequência:
- Numerador:
tende a . - Denominador:
tende a .
Passo 5
Com isso, podemos calcular o limite da sequência
:
Resposta
A sequência converge e o seu limite é
.