Um engenheiro metalúrgico quer analisar a porcentagem de carbono em uma liga de ferro. Dez unidades amostrais de ferro apresentam as seguintes quantidades de carbono (em gramas) para cada 100 gramas da liga: 4,37
. Determinar, com base nessa amostra, um intervalo de confiança de
para o verdadeiro conteúdo médio de carbono na liga de ferro produzida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar um intervalo de confiança de 90% para a média do conteúdo de carbono em uma liga de ferro, baseado em 10 amostras. Isso está dentro do conteúdo de Estatística, mais especificamente sobre Intervalo de Confiança para a média. Para resolver isso, vamos precisar calcular a média e o desvio padrão das amostras e usar a distribuição t de Student, já que temos um número pequeno de amostras e provavelmente não conhecemos o desvio padrão da população.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média das amostras. A média (
) é a soma de todos os valores dividida pelo número de amostras.
Passo 3
Agora, vamos calcular o desvio padrão (
) das amostras, que mede a dispersão dos valores em relação à média. A fórmula é:
Calculando cada diferença ao quadrado:
Somando tudo:
Agora, dividimos pela
:
Passo 4
Para montar o intervalo de confiança, precisamos do valor crítico t para um nível de confiança de 90% e
graus de liberdade. Consultando a tabela t de Student, o valor t para 90% de confiança e 9 graus de liberdade é aproximadamente 1,833.
Passo 5
Vamos calcular o erro padrão da média (
), que é o desvio padrão dividido pela raiz quadrada do número de amostras:
Passo 6
Agora, montamos o intervalo de confiança usando a fórmula:
Calculando os limites:
Resposta
O intervalo de confiança de 90% para o conteúdo médio de carbono na liga de ferro é entre 3,37 g e 4,93 g.