Um engenheiro metalúrgico quer analisar a porcentagem de carbono em uma liga de ferro. Dez unidades amostrais de ferro apresentam as seguintes quantidades de carbono (em gramas) para cada 100 gramas da liga: 4,37 3,63 2,73 5,46 2,18 6,07 3,24 5,89 4,86 4,64. Determinar, com base nessa amostra, um intervalo de confiança de 90 % para o verdadeiro conteúdo médio de carbono na liga de ferro produzida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar um intervalo de confiança de 90% para a média do conteúdo de carbono em uma liga de ferro, baseado em 10 amostras. Isso está dentro do conteúdo de Estatística, mais especificamente sobre Intervalo de Confiança para a média. Para resolver isso, vamos precisar calcular a média e o desvio padrão das amostras e usar a distribuição t de Student, já que temos um número pequeno de amostras e provavelmente não conhecemos o desvio padrão da população.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média das amostras. A média ( ) é a soma de todos os valores dividida pelo número de amostras.

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão ( ) das amostras, que mede a dispersão dos valores em relação à média. A fórmula é:
Calculando cada diferença ao quadrado:
Somando tudo:
Agora, dividimos pela :

Passo 4

Para montar o intervalo de confiança, precisamos do valor crítico t para um nível de confiança de 90% e graus de liberdade. Consultando a tabela t de Student, o valor t para 90% de confiança e 9 graus de liberdade é aproximadamente 1,833.

Passo 5

Vamos calcular o erro padrão da média ( ), que é o desvio padrão dividido pela raiz quadrada do número de amostras:

Passo 6

Agora, montamos o intervalo de confiança usando a fórmula:
Calculando os limites:

Resposta

O intervalo de confiança de 90% para o conteúdo médio de carbono na liga de ferro é entre 3,37 g e 4,93 g.

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