Um fabricante de pentes de memória RAM para computadores, que produz em grandes quantidades, deseja estimar a fração de unidades defeituosas elaboradas por sua indústria. Para isso, ele selecionou uma amostra aleatória de 200 unidades e verificou que, entre elas, 5 eram defeituosas. Construa um intervalo de confiança otimista de para .

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um fabricante que quer estimar a fração de pentes de memória RAM defeituosos produzidos. Para isso, ele selecionou uma amostra aleatória de 200 unidades e encontrou que 5 delas eram defeituosas. Nosso objetivo é construir um intervalo de confiança otimista de 95% para .
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de intervalo de confiança para proporção na estatística. Vamos usar fórmulas envolvendo proporções amostrais e a distribuição normal para calcular esse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a proporção amostral ( ). Isso é simplesmente o número de unidades defeituosas dividido pelo tamanho total da amostra.

Passo 3

Agora, precisamos determinar o valor crítico correspondente a um intervalo de confiança de 95%. Esse valor crítico ( ) é encontrado na tabela da distribuição normal padrão. Para um intervalo de 95%, o valor de é aproximadamente 1,96.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o erro padrão da proporção amostral. O erro padrão ( ) é dado por:
Substituindo os valores que temos:
Vamos calcular dentro da raiz primeiro:
Agora, a raiz quadrada:
Multiplicando pelo valor crítico:

Passo 5

Com o erro padrão calculado, podemos agora construir o intervalo de confiança. O intervalo de confiança é dado por:
Substituindo nossos valores:
Isso nos dá os limites inferior e superior do intervalo:

Resposta

O intervalo de confiança otimista de 95% para a fração de unidades defeituosas é aproximadamente de 0,0033 a 0,0467.

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